【正文】 el記號的計算結果帶入 方程 (eq1)中得到 加上初始值條件 ，解得 ? 觀察到 。平行移動保持切向量的長度不變？ 000( ) s in c o s ( )( ) c o t ( ) .a t u u b tb t u a t? ??? ? ???( 0) 0 , ( 0) 1ab??0 0 0( ) si n si n( ( c os ) ) , ( ) c os( ( c os ) ) .a t u u t b t u t??2 20( ( ) ) sinX t u? ? 第二章 曲面：局部理論 命題 假設 和 是沿 的兩個平 行向量場，則內(nèi)積 為常數(shù)。 推論 平行移動保持向量的長度和夾角 。 證明：向量場 沿 平行，則 與 平行，則 同理 W( ( ) ) ( ( ) )W t V t???( ) :t I M? ?VW ?()tDW??n()( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) t V t D W V t?? ? ??? ? ? ? ?( ( ) ) ( ( ) ) t V t?? ???( ( ) ) ( ( ) ) 0 ( ( ) ) ( ( ) ) c o .d W t V t W t V t n s tdt ? ? ? ?? ? ? ? ? 第二章 曲面：局部理論 ? 平面中 “ 直線 ” 在曲面的推廣－－ “ 測地線 ” 。 ? 曲面上兩點之間的最短連線是什么？ 定義 曲面 上一條非常值參數(shù)曲線 稱為 測地線（ geodesic） ，如果切向量場 沿 平行，即 ? 測地線滿足 ，參數(shù)曲線正則，可以引進弧長參數(shù) 。 0.? ?? ???: IM? ?()t??M?( ) 0tc? ? ??s ct? 第二章 曲面：局部理論 ? 曲面上以 弧長 為參數(shù)的測地線 的曲率向量 在曲面的切平面上投影為零，即測地線在每點的 主法向量與曲面的法向量平行。 這里曲線的曲率向量在曲面法向量上的投影 恰好是曲線的法曲率。 ()s?()( ) ( )sN s D s?? ? ?????? 第二章 曲面：局部理論 曲面 上一條 弧長 參數(shù)曲線 在考慮法曲率時，我們實際上引入了有別于 Fre標架的另一個標架 （ Darboux 標架）。 { , n , n}TT?: IM? ?M 第二章 曲面：局部理論 此時，曲率向量可以分解為 其中法曲率 是曲率的法分量，而 是曲率 的切分量，稱為曲面上曲線的 測地曲率 （ geodesic curvature)。 ? 曲線是曲面測地線當且僅當它的測地曲率為零。例 1證明球面上的大圓是測地線。 ( ( n ) ) ( n ) ( n ) nngN N T T N??? ? ?? ? ? ? ? ?n? g? 第二章 曲面：局部理論 定理 （ Liouville公式） 假設 是曲面 上的 正交 參數(shù)表示， 是 上的 一條曲線，其中 是弧長參數(shù)。 假定曲線 與 曲線的夾角為 ，則曲 線 的測地曲率為 M( ( ) , ( ) )x u s v s? ?( , )x u vM?1 l n 1 l nc o s s in .22gd E Gd s v uGE?? ? ???? ? ???u?s? ? 第二章 曲面：局部理論 證明： 曲線和 曲線的單位切向量為 曲線 的切向量 夾角 滿足 Darboux標架中 12 ,d u d vT E e G ed s d s??12n sin c os .T e e??? ? ? ?1211,.uve x e xEG??c o s , s in .d u d vEGd s d s????u? v??? 第二章 曲面：局部理論 曲率向量 計算測地曲率得到 其中 1212( s in c o s ) c o s s in ,d e d ed T dN e ed s d s d s d s?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12( n )gdedN T ed s d s??? ? ? ? ? ? ?121()1( ) .22vvu u u vvude d u d ved s d s d sEGEGd u d vd s d sEG? ? ? ? ???? 第二章 曲面：局部理論 于是定理成立。特別的， 曲線和 曲線的測地 曲率分別為 因此 Liouville公式可以改寫成 ■ 121 l n 1 l n,.22ggEGvuGE????? ? ???12c o s s in .g g gdds?? ? ? ? ?? ? ?u? v? 第二章 曲面：局部理論 一般情況，利用 (eq1)，其中 我們得出測地線 滿足方程 由常微分方程組解的存在唯一性得到以下推論 22( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) 2 ( ) ( ) ) ( ) 0 .u u uu u u v v vv v vu u u v v vu t u t u t v t v tv t u t u t v t v t?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) , ( ) ( )a t u t b t v t????( ) ( ( ) , ( ) )t x u t v t? ?( 2)eq ? 第二章 曲面：局部理論 命題 在曲面 上給定點 和非零切向量 存在 和唯一的測地線 滿足 ? 由上面命題中的唯一性可推出球面上測地線只能是大圓； ? 平面上的測地線只能是直線。 ,0PV T M V??M: ( , ) M? ? ???PM?0? ?( 0 ) , ( 0 ) .PV?? ??? 第二章 曲面：局部理論 定理 測地線在局部上使得弧長極小。 證明思路：曲面 上取定任意一點 和過點 的測地線 。假設 是 上過點 并且與 正交的曲線。 我們可以構造曲面局部參數(shù)表示 滿足 ,并且 ? 曲線都是與 正交的測地線； ? 曲線與 曲線正交。 M0CP?( , )x u vPM P(0 , 0)xP?u?u?v?0C? 第二章 曲面：局部理論 第二章 曲面：局部理論 對于曲線 上任意一點 ，考察曲面 上 和 的連線，不妨設其有參數(shù)表示 曲面的第一基本量在此構造下滿足（習題 2） MQ0( , 0)Q x u?P( ) ( ( ) , ( ) ) : [ , ] .t x u t v t a b M? ??( ) , 0 , ( , ) .E E u F G G u v? ? ?? 第二章 曲面：局部理論 則 的弧長滿足 其中 是連接 和 的測地線弧長。 ? 平面上兩點之間的連線以直線段最短。（ 整體 ） 00 ()u E u d u? Q0220( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) , ( ) ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) .babuale n g th E u t u t G u t v t v t d tE u t u t d t E u d u? ??????????P? 第二章 曲面：局部理論 例 5 如圖所示，連接球面上的任意兩點 和 的測地線可以是兩個弧長不等的大圓弧（共同組成一個大圓）。 曲面上連接兩點 的測地線的弧長 不一定是最小。 P Q