微分幾何習(xí)題解答(曲線(xiàn)論)-資料下載頁(yè)
2025-03-25 01:54本頁(yè)面
【正文】 平面垂直于某固定直線(xiàn)時(shí),=。曲線(xiàn)的撓率的絕對(duì)值等于||為零，所以曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)。證法二：設(shè)是固定直線(xiàn)一向量，則=0 ，積分得= ,說(shuō)明曲線(xiàn)在以為法向量的一個(gè)平面上,因而為平面直線(xiàn)。證法三：設(shè)是固定直線(xiàn)一向量，則=0 ，再微分得=0 ，=0 。所以 、 、三向量共面，于是（）= 0 ，由撓率的計(jì)算公式知=0，因此曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)。7． 如果兩曲線(xiàn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有公共的副法線(xiàn)，則它們是平面曲線(xiàn)。證 設(shè)一曲線(xiàn)為Γ：＝，則另一曲線(xiàn)的表達(dá)式為： ，為曲線(xiàn)Γ在點(diǎn)s的主法向量，也應(yīng)為在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的副法線(xiàn)的方向向量。＝＋－與正交，即＝０，于是＝０，為常數(shù)。＝－，＝k－－（－k＋）也與正交，即＝=0,而０,所以有＝０，曲線(xiàn)Γ為平面曲線(xiàn)。同理曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)。8. 如果曲線(xiàn)Γ：＝為一般螺線(xiàn), 、為Γ的切向量和主法向量，R為Γ的曲率半徑。證明：=R－也是一般螺線(xiàn)。證 因?yàn)棣橐话懵菥€(xiàn), 所以存在一非零常向量使與成固定角,對(duì)于曲線(xiàn),其切向量=與共線(xiàn),因此也與非零常向量成固定角, 所以也為一般螺線(xiàn)。9．證明曲線(xiàn)＝為一般螺線(xiàn)的充要條件為證 ，＝，其中k0.曲線(xiàn)＝為一般螺線(xiàn)的充要條件為 為常數(shù),即=0,也就是 。方法二： ，即。曲線(xiàn)＝為一般螺線(xiàn)，則存在常向量，使=常數(shù)，所以所以共面，從而（）=0。反之，若（）=0，則平行于固定平面，設(shè)固定平面的法矢為，則有，從而= p (常數(shù))，所以＝為一般螺線(xiàn)。方法三：曲線(xiàn)＝為一般螺線(xiàn)存在常向量使，即平行于固定平面（以為法向量的平面）平行于一固定平面 。方法四：設(shè)＝為一般螺線(xiàn)，存在常向量使=常數(shù)，即常數(shù)，連續(xù)三次求微商得， ，所以。因?yàn)椋云叫杏诠潭ㄆ矫?，設(shè)固定平面的法矢為（常向量），則，而，所以曲線(xiàn)為一般螺線(xiàn)。10. 證明一條曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)不可能同時(shí)都是另一條曲線(xiàn)的切線(xiàn)。證 設(shè)曲線(xiàn)Γ與在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有公共的切線(xiàn)，且Γ的表達(dá)式為：＝ ，則：，０，其切向量為＝＋＋k應(yīng)與平行，所以k＝０，從而曲線(xiàn)Γ為直線(xiàn)。同理曲線(xiàn)為直線(xiàn)，而且是與Γ重合的直線(xiàn)。所以作為非直線(xiàn)的兩條不同的曲線(xiàn)不可能有公共的切線(xiàn)。11．設(shè)在兩條曲線(xiàn)Γ、的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)平行，證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線(xiàn)以及副法線(xiàn)也互相平行，且它們的撓率和曲率都成比例，因此如果Γ為一般螺線(xiàn), 則也為一般螺線(xiàn)。證 設(shè)曲線(xiàn)Γ：=與：點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)，使它們對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)平行，則適當(dāng)選擇參數(shù)可使=, 兩端對(duì)s求微商得, 即 ，這里，所以有=，即主法線(xiàn)平行，從而=，即兩曲線(xiàn)的副法線(xiàn)也平行。且 或。=兩邊對(duì)s求微商得，于是 或，所以， 或。14
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