第三章-微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題解答-資料下載頁
2025-03-25 06:50本頁面
【正文】 （３） 曲線的弧微分．2． 求常數(shù)，使在處與曲線相切，且有相同的凹向與曲率．解： 由題設(shè)可知 函數(shù)與在處由相同的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)值，二階導(dǎo)數(shù)值，故．3． 曲線弧上哪一點處的曲率半徑最小?求出該點的曲率半徑．解： , 曲線在一點處的曲率為令 , ，當(dāng)時,故在上單調(diào)增加, 因此在上的最大值是, 即在點處的曲率半徑最小, 其曲率半徑為．4．求橢圓 在點處的曲率及曲率半徑．解：因此曲率，曲率半徑．167。1. 試證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實根，并用切線法求這個根的近似值，.證明: 令，函數(shù)在單調(diào)遞增．在上連續(xù)，且,故方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實根．求近似值的過程略．第三章 綜合練習(xí)題1．填空題（１） 0 ．（２） 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加．（３） 曲線的漸近線是．（４） 1 ．2． 求下列極限（１） 解：＝＝＝＝＝．（２） 解：===．3． 求證當(dāng)時， ．證明： 令, 則 , 當(dāng)時, ，故在單調(diào)增． 當(dāng)時，有，即 ． 4． 設(shè)在上可導(dǎo)且，證明：存在點使.證明： 設(shè), 則，且．由拉格朗日中值定理知, 存在，使, 即．5． 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值, 且, , 證明： 存在,使得．證明： 設(shè)分別在取得最大值， 則, 且． 令．當(dāng)時, , 由羅爾定理知, 存在, 使, 進一步由羅爾定理知, 存在，使，即當(dāng)時, ,，由零點存在定理可知，存在，使． 由于，由前面證明知, 存在，使，即．6． 設(shè),證明方程有且僅有一個正的實根．證明：設(shè)． 當(dāng)，顯然只有一個正的實根．下考慮時的情況．先證存在性： 因為在內(nèi)連續(xù)，且，由零點存在定理知，至少存在一個，使，即至少有一個正的實根．再證唯一性：假設(shè)有，且，使，根據(jù)羅爾定理，存在，使，即，從而，這與矛盾．故方程只有一個正的實根．7． 對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個中等水平的工人早上8時開始工作，在小時之后，生產(chǎn)出個產(chǎn)品．問：在早上幾點鐘這個工人工作效率最高？解：因為, 令,得． 又當(dāng)時，．函數(shù)在上單調(diào)增加；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)減少．故當(dāng)時，達到最大, 即上午11時這個工人的工作效率最高．
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1