第三章習(xí)題詳細解答20080915-資料下載頁
2025-03-25 06:50本頁面
【正文】 。用求指數(shù)型極限的一般方法計算，即原式。而，故原式； ，則求得是的唯一極值點，是函數(shù)在上的最大值。由于，所以數(shù)列中的最大項必為中的最大項，又因為，所以是數(shù)列中的最大項。故斜漸近線方程為.二、解：，由又因為以及，所以選C； ； ，如在單調(diào)增加，但，故非必要條件。故選B； 4. 因，故在上單調(diào)減少，所以當(dāng)時，得，故選A； ，當(dāng)時與相同，當(dāng)時與的圖形關(guān)于軸對稱，畫圖可知是的極值點且是的拐點，故選C.三、解：（1）因為又因為 ； （2）因為所以。（3）因為所以，故 ； （4），因為是曲線的拐點，所以，即，又因為曲線在處有極值，所以，即，曲線方程為又因為在曲線上，所以即即，.（5）設(shè)，則令得，當(dāng)時，當(dāng)時，即在內(nèi)單調(diào)下降，在內(nèi)單調(diào)上升，故為函數(shù)的最小值。當(dāng)，即時，無零點，則兩曲線無交點；當(dāng)，即時，有唯一零點，則兩曲線有唯一交點；，即時，由于，知有兩個零點，則兩曲線有兩個交點。四、證明：要證原式，等價證明此式成立。令，在上用拉格朗日中值定理得，其中。注意，則。在單調(diào)下降，因此。五．證明：（1）先證左邊：設(shè)，則由中值定理知，存在，使因，則，故。（2）再證右邊不等式設(shè)，由于，故當(dāng)時，單調(diào)減少，從而當(dāng)時，由此得，即。六、解：令，由于，知是兩個根，且，反設(shè)有四個根利用羅爾定理得至少有兩個零點，推出矛盾.七、證明：（1）對非零，由拉格朗日中值定理得，即，由于在內(nèi)連續(xù)且，故在內(nèi)不變號，不妨設(shè)則在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加，故是唯一的。（2）由麥克勞林公式得，介于與之間，則，又，而，又當(dāng)時，由的連續(xù)性得，故。八、證明：因為，不妨設(shè)。由于連續(xù)，因而，必存在的某一取心鄰域，當(dāng)時。，在點處的階泰勒展開式為，其中介于與之間。代入已知條件即得，因為，所以。當(dāng)為奇數(shù)時，在內(nèi)，；在內(nèi)，故不是極值。當(dāng)為偶數(shù)時，不論在內(nèi)，還是在內(nèi)都有，故是極小值。再設(shè)，類似地可證：當(dāng)為奇數(shù)時，不是極值；當(dāng)為偶數(shù)時，是極大值。九、解：設(shè)，則在上連續(xù)。由是內(nèi)唯一駐點。又當(dāng)時，；當(dāng)時，故在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加。故是在內(nèi)唯一最小值點，最小值為，又，故在內(nèi)的取值范圍為。故，即或時，原方程在內(nèi)無根。當(dāng)時，原方程在內(nèi)有唯一根。當(dāng)時，原方程在和內(nèi)恰好各有一根，即原方程在內(nèi)恰有兩個不同的根。31
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