第三章習(xí)題詳細(xì)解答20080915(存儲(chǔ)版)
【正文】 ，為拐點(diǎn).（2）在凸，在凹，無拐點(diǎn).（3）沒有拐點(diǎn)，處處是凹的.（4）與 為凹，為凸，與為拐點(diǎn)（5）在與凸，在凹，為拐點(diǎn).（6）在內(nèi)是凹，.6．解：（1）令，則，所以當(dāng)且時(shí)。用泰勒公式得在與之間）又已知，所以，由于，且連續(xù)，則在充分小的鄰域內(nèi)，特別，不妨設(shè)連續(xù)（，證明類似），則當(dāng)時(shí)。：（1）令得，舍去。又在端點(diǎn)處，從而就是最大值點(diǎn)。：，因此，把它們代入曲率公式，得.：顯然，故曲線在點(diǎn)處的曲率為：，曲率半徑為。五、證明：因?yàn)?，所以?yán)格單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，又由柯西中值定理知，存在使故，即。由于，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)必為中的最大項(xiàng)，又因?yàn)?，所以是?shù)列中的最大項(xiàng)。在單調(diào)下降，因此。代入已知條件即得，因?yàn)椋?。故，即或時(shí)，原方程在內(nèi)無根。又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加。由于連續(xù)，因而，必存在的某一取心鄰域，當(dāng)時(shí)。令，在上用拉格朗日中值定理得，其中。用求指數(shù)型極限的一般方法計(jì)算，即原式。：設(shè)飛機(jī)在坐標(biāo)原點(diǎn)處時(shí)座椅對(duì)飛行員的反力為，飛行員所受的向心力為，所以在豎直方向上，由受力平衡，得： （1）拋物線在點(diǎn)處的曲率半徑： （2）所以，由（1）（2）式聯(lián)立，解方程組，得：。又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，即房租定為1800元時(shí)，可獲得最大收入。令得。 （6）令，得。：，所以若為曲線的拐點(diǎn)，則滿足 解得：。所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根：當(dāng)，即時(shí)，方程沒有實(shí)根。（2）設(shè)，則從而當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格遞增。2．解：（1）不存在，故不能用洛必達(dá)法則.（2），而若用洛必達(dá)法則：有該極限不存在，但存在，故不能用洛必達(dá)法則得出。綜上所述，結(jié)論成立。（3）當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)在以為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得，其中在與之間，因此。4．證明：顯然都滿足在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且對(duì)任一，滿足柯西中值定理?xiàng)l件。7．解：反證法，倘若有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為和，即，不妨設(shè)，由于多項(xiàng)式函數(shù)在上連續(xù)且可導(dǎo)，故由羅爾中值定理存在一點(diǎn)，使得，而這與所設(shè)沒有實(shí)根相矛盾，命題得證。12．證明：對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理：存在使得從而。習(xí)題32：將上述結(jié)果代入泰勒多項(xiàng)式，得.：因?yàn)樗?：因?yàn)椋?br />
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