第三章習題詳細解答20080915(已修改)
2025-04-06 06:50 本頁面
【正文】 第三章 微分中值定理及導數(shù)的應用習題31：（1）滿足，；（2）雖然在上連續(xù)，但在內點不可導?？梢?，在上不滿足羅爾中值定理的條件，因此未必存在一點，使得.3．解：令，化簡得（為常數(shù)），又，故當，有。4．證明：顯然都滿足在上連續(xù)，在內可導且對任一，滿足柯西中值定理條件。，而，令，即，此時顯然，即，使得。：因為，又因為在任一區(qū)間內都連續(xù)而且可導，所以在任一區(qū)間內滿足羅爾中值定理的條件，所以由羅爾定理，得：使得：，又因為只有三個根，有3個根分別屬于三個區(qū)間.6．證明：設的個相異實根為則由羅爾中值定理知：存在：，使得再由羅爾中值定理至少存在：，使得如此作到第步，則知至少存在一點：使得。7．解：反證法，倘若有兩個實根，設為和，即，不妨設，由于多項式函數(shù)在上連續(xù)且可導，故由羅爾中值定理存在一點，使得，而這與所設沒有實根相矛盾，命題得證。8．證明：令，由于由零點定理知，在內至少存在一點，使，又由方程得，因此方程只存在與之間的正根，假設有兩個正根，即，且使得：，不妨假設，顯然在上連續(xù)，在內可導。所以由羅爾定理，得：，使得：，即，矛盾，假設不成立，所以方程只有一個正根。9．證明：（1）因為在上可導，所以由拉格朗日中值定理知：存在使得又，故，即。（2）因為在上可導，所以由拉格朗日中值定理知：存在使得又，所以。（3）當時結論顯然成立，當時，對函數(shù)在以為端點的區(qū)間上應用拉格朗日中值定理，得，其中在與之間，因此。10．證明：因為在內具有二階導數(shù)，所以由羅爾定理，得，使得，又在且滿足羅爾定理的條件，故由羅爾定理，得：，使得。11．證明：設，由拉格朗日中值定理，得，使得：即：，又。12．證明：對函數(shù)在上應用拉格朗日中值定理：存在使得從而。13．證明：（1）令。當時結論顯然成立。當時，由拉格朗日中值定理，得。（在構成的區(qū)間內），即：。綜上所述，結論成立。（2）令由拉格朗日中值定理，得：，使得：，即：，又，故，所以，即。14．證明：在的某鄰域內具有階導數(shù)，由柯西中值定理，得：使，反復使用柯西中值定理，得：，使得即，使，使得：。習題32：將上述結果代入泰勒多項式，得.：因為所以.：因為，，所以.：，所以，令代入得，由泰勒公式，
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