第三章習題詳細解答20080915-wenkub
2023-04-09 06:50:37 本頁面
【正文】 以（12）令，； （13） ； （14）令，所以；（15） 。習題32：將上述結(jié)果代入泰勒多項式，得.：因為所以.：因為，，所以.：，所以，令代入得，由泰勒公式，得.：因為，一般地，有，所以，一般地，有：所以，由泰勒公式，得：，所以，又，所以.：（1）因為所以誤差為：（2）誤差為.：（1）由于分式的分母，我們只需將分子中的和分別用帶有佩亞諾型余項的三階麥克勞林公式表示，即，于是，故。（在構(gòu)成的區(qū)間內(nèi)），即：。12．證明：對函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理：存在使得從而。（2）因為在上可導(dǎo)，所以由拉格朗日中值定理知：存在使得又，所以。7．解：反證法，倘若有兩個實根，設(shè)為和，即，不妨設(shè)，由于多項式函數(shù)在上連續(xù)且可導(dǎo)，故由羅爾中值定理存在一點，使得，而這與所設(shè)沒有實根相矛盾，命題得證?？梢姡谏喜粷M足羅爾中值定理的條件，因此未必存在一點，使得.3．解：令，化簡得（為常數(shù)），又，故當，有。4．證明：顯然都滿足在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且對任一，滿足柯西中值定理條件。8．證明：令，由于由零點定理知，在內(nèi)至少存在一點，使，又由方程得，因此方程只存在與之間的正根，假設(shè)有兩個正根，即，且使得：，不妨假設(shè)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。（3）當時結(jié)論顯然成立，當時，對函數(shù)在以為端點的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得，其中在與之間，因此。13．證明：（1）令。綜上所述，結(jié)論成立。（2）因為分子關(guān)于的次數(shù)為2原式.：（1）因此；（2）解：設(shè)，則因為所以帶拉格朗日型余項的二階麥克勞林公式為，從而。2．解：（1）不存在，故不能用洛必達法則.（2），而若用洛必達法則：有該極限不存在，但存在，故不能用洛必達法則得出。令，則，故在內(nèi)嚴格遞減，又在處連續(xù)，且，故在內(nèi)，即，所以當時。（2）設(shè)，則從而當時，嚴格遞增。綜合上述結(jié)果可得，當時，有。所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以當時，當時，所以當，即時，方程只有一個實根：當，即時，方程沒有實根。由凹函數(shù)的定義，知：對，有：，即。：，所以若為曲線的拐點，則滿足 解得：。習題35：（1）令，解得，又，所以在處有極大值，由于當時，故在的鄰域
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