微分幾何陳維桓習題答案2-資料下載頁
2025-06-24 22:55本頁面
【正文】 □p. 110 1. 判斷下列曲面中哪些是可展曲面？說明理由. (1) ；(2) ；(3) ； (4) .解. (1) .所以它是可展曲面，因為它是正則曲線()的切線面. (2) ，其中是圓柱螺線，. 所以它是可展曲面. (3) 令，.則，直接計算得. 當時，它是馬鞍面，所以不是可展曲面.當或時，它是平面，所以是可展曲面.當且時，它不是正則曲面.(4) 令，. 則. 由于，它不是可展曲面. □2. 考慮雙參數(shù)直線族，其中是直線族的參數(shù). (1) 求參數(shù)和之間的關系，使得由此得到的單參數(shù)直線族是一個可展曲面的直母線族；(2) 確定相應的可展曲面的類型. 解. (1) 對于固定的參數(shù)，該雙參數(shù)直線族中的一條直線可以寫成點向式：.設所求的函數(shù)關系為. 則得到一個單參數(shù)直線族，它們構成的直紋面的方程為.于是是可展曲面，其中是任意常數(shù). 即所求的函數(shù)關系為.(2) 此時的參數(shù)方程為，其中，.由于，不是柱面. 如果是錐面，則有函數(shù)使得，其中為常向量. 于是，從而，是常數(shù). 由此得，矛盾. 因此是切線曲面. 事實上，記，其中. 則.取新的準線. 則.于是的參數(shù)方程為，其中是新的參數(shù). □8. 證明：由撓率不為零的正則曲線的主法線族和次法線族分別生成的直紋面都不是可展曲面. 證明. 設正則曲線的弧長參數(shù)方程為，曲率和撓率分別為，F(xiàn)renet標架為. 它的主法線族生成的直紋面是. 因為，所以不是可展曲面. 同理，由可知它的次法線族生成的直紋面不是可展曲面. □
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