【正文】 向向量為. 則直紋面的參數(shù)方程為.由于的分量滿足單葉雙曲面的方程，可得，.由得任意性得到，.因此. 取得，.(2) 對雙曲拋物面，令，則. 曲面的參數(shù)方程為 ，.p. 94 1. 證明：一個正則參數(shù)曲面是球面它的所有法線都經(jīng)過一個固定點. 證明. “”設是球面，參數(shù)方程為，球心為，半徑為. 則有，. (1)微分可得，. (2)所以，從而，即有函數(shù)使得. (3)這說明球心在它的所有法線上. “” 設的所有法線都經(jīng)過一個固定點. 則有函數(shù)使得(3)式成立，即有. 分別用作內(nèi)積，可得(2). 這說明，從而(1)式成立，其中(否則只是一個點，不是正則曲面)是常數(shù). 因此是以為球心，以為半徑的球面，或球面的一部分. □3. 證明：一個正則參數(shù)曲面是旋轉(zhuǎn)面它的所有法線都與一條固定直線相交.證明. “”設是旋轉(zhuǎn)面，旋轉(zhuǎn)軸為軸. 它的參數(shù)方程為，.因為，所以上任意一點處的法線的參數(shù)方程為.由于軸的參數(shù)方程為，并且，所以與共面. 如果與處處平行，則，從而. 此時是垂直于軸的平面. 所以當不是垂直于軸的平面時，旋轉(zhuǎn)面的所有法線都與軸相交. “” 通過選取坐標系，不妨設固定直線為軸. 設的參數(shù)方程為，. 由條件，的所有法線都與軸相交，所以法線不能與軸平行，即，.因此，不能全為零. 不妨設在點鄰近. 通過參數(shù)變換，曲面的參數(shù)方程可以寫成，. (1)于是，.因為所有法線都與軸相交，即有. 這說明是一個僅僅依賴于的函數(shù).