微分幾何陳維桓習(xí)題答案2-全文預(yù)覽
【正文】 方向滿足.于是它們的交角為，或. (2) 不妨設(shè)常數(shù). 如圖，在曲紋坐標(biāo)下，與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為. 因?yàn)槭怯?jì)算內(nèi)角，在點(diǎn). 同理，所以內(nèi)角. 在點(diǎn)，所以.在點(diǎn)，.所以，. 曲線，的弧長(zhǎng)分別為，.注. 在90版中，本題為，故，.(3) 因?yàn)?，所以曲邊三角形的面積 p. 110 1. 設(shè)空間曲線以弧長(zhǎng)為參數(shù)，曲率是. 寫(xiě)出它的切線曲面的參數(shù)方程，使得相應(yīng)的參數(shù)曲線構(gòu)成正交曲線網(wǎng). 解. 設(shè)曲線的Frenet標(biāo)架是. 則它的切線曲面參數(shù)方程可寫(xiě)為.由，可得它的第一基本形式. (1)直母線(即曲線)的正交軌線的微分方程為，即. 為此，作參數(shù)變換，. 則逆變換為，切線曲面的參數(shù)方程為.在新參數(shù)下，. 第一基本形式化為.所以參數(shù)曲線構(gòu)成正交曲線網(wǎng). 也可將，直接代入(1)式得到上式：.3. 求曲線的參數(shù)曲線的正交軌線，其中是常數(shù). 解. ，. 第一基本形式為.曲線的正交軌線的微分方程為，即. 解這個(gè)微分方程：，得到曲線的過(guò)的正交軌線為.曲線的正交軌線的微分方程為，即. 過(guò)的正交軌線為. p. 110 1. 證明：在懸鏈面，與正螺面，之間存在保長(zhǎng)對(duì)應(yīng). 證明. 懸鏈面的第一基本形式為 . 正螺面的第一基本形式為 .對(duì)正螺面作參數(shù)變換，令. 則，參數(shù)變換是可允許的. 由于，正螺面的第一基本形式化為.，在懸鏈面與正螺面之間存在保長(zhǎng)對(duì)應(yīng). 對(duì)應(yīng)關(guān)系式為.
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