微分幾何曲面doc-資料下載頁
2025-06-24 23:00本頁面
【正文】 義 若在曲面上的一點處, 有，則該點稱為曲面上的臍點. 若，則該點稱為平點；若且，則該點稱為圓點.注1 臍點分為平點和圓點兩種. 可以證明: 球面上的點都是圓點, 平面上的點都是平點. 注2 在臍點處, 沿任何方向的法曲率都相同, 且(上述命題). 在平點處, 沿任何方向的法曲率。 在圓點處, 沿任何方向的法曲率. 曲面上非臍點處法曲率的最大值和最小值稱為曲面在這點處的主曲率. 使法曲率取得最值的切方向稱為曲面在該點處的主方向.命題 曲面上一點處的主曲率是方程的兩個根.命題 主方向滿足方程.注 曲面上一點若為非臍點, 則恰有兩個主方向, 并且它們彼此正交（方向相反的兩個主方向視為一個切方向）.曲面上的一點若為臍點，則該點處的任何方向都是主方向.（主方向判定定理，羅德里格()定理）若方向(d)=：是主方向，則,其中，是沿方向()的法曲率；反之，若對于方向, 有,則()是主方向，并且，是沿方向()的法曲率．證明 由, ,可得.若()是主方向, 則由上個命題, 可知. 因此. 設. 兩邊與作內(nèi)積, 則. 所以.反之，若對于方向, 有, 則. 因此．所以()是主方向，且與前面同理可證, 是沿方向()的法曲率． 對于曲面上的一條曲線，若其上每一點處的切方向都是曲面在該點處的主方向，則此曲線稱為曲面上的曲率線．命題 曲面上的曲率線的微分方程是．定義 曲面上兩族曲率線構成的曲線網(wǎng)稱為曲率線網(wǎng)．命題 在不含臍點的曲面上，經(jīng)過參數(shù)的適當選擇，總可以把曲紋坐標網(wǎng)取為曲率線網(wǎng)．注 當曲紋坐標網(wǎng)是曲率線網(wǎng)時, 為曲線(曲率線)的切方向, 為曲線(曲率線)的切方向. , . 曲面的第一和第二基本形式分別簡化為，.沿方向的法曲率，. （歐拉（）公式） 若曲面一點處的方向與這一點處的第一主方向的夾角為，則該方向上的法曲率與這點的主曲率和之間有如下關系：.其中是第一主方向上的法曲率. 這個式子稱為歐拉公式．證明 在臍點處, 公式顯然. 在非臍點的附近, 將無臍點出現(xiàn). 于是可取曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為曲率線網(wǎng)，從而有其中角與曲紋坐標的選擇無關．8. 曲面的高斯曲率與平均曲率定義 設和為曲面上一點處的兩個主曲率. 則它們的乘積稱為曲面在這一點的高斯曲率，通常用表示。 它們的平均數(shù)稱為曲面在這點的平均曲率，通常用表示．命題 ,．定義 曲面上的點根據(jù)其高斯曲率的取值可以分為如下三類：1. 橢圓點：。2. 雙曲點：。3. 拋物點：. 命題. 證明 . , 得到. 設給定兩個曲面，. 若它們的第一基本形式和作為, 的二次型相等，即=，則這兩個曲面有相同的高斯曲率．例2 試求旋轉曲面()的高斯曲率和平均曲率．解,.因此，．,，.故= d=，. .于是，．從而，，．所以，．例3 對于給定曲面，若曲面上每一點處的平均曲率，則該曲面稱為極小曲面．可以證明，以空間閉曲線為邊界的曲面域中，面積最小的曲面是極小曲面，即平均曲率為0的曲面．極小曲面的實際模型是將空間中彎曲成閉曲線的鉛絲浸入肥皂溶液中，取出時所得的皂膜曲面．現(xiàn)在求極小旋轉曲面，即的旋轉曲面．由例2可知，．于是．由此可得，即．積分后可得（為常數(shù)），即．上式可以化為．積分后得，即．但這兩式實為同一式:. 為簡便, 取(懸鏈線). 這里省略了積分常數(shù)，因為它只不過表示平行于旋轉軸的平移而已．所以，曲面是由懸鏈線旋轉而成，稱為懸鏈面．在形狀上，它很像壓扁的旋轉單葉雙曲面．
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