微分幾何曲面doc-資料下載頁(yè)
2025-06-24 23:00本頁(yè)面
【正文】 義 若在曲面上的一點(diǎn)處, 有，則該點(diǎn)稱為曲面上的臍點(diǎn). 若，則該點(diǎn)稱為平點(diǎn)；若且，則該點(diǎn)稱為圓點(diǎn).注1 臍點(diǎn)分為平點(diǎn)和圓點(diǎn)兩種. 可以證明: 球面上的點(diǎn)都是圓點(diǎn), 平面上的點(diǎn)都是平點(diǎn). 注2 在臍點(diǎn)處, 沿任何方向的法曲率都相同, 且(上述命題). 在平點(diǎn)處, 沿任何方向的法曲率。 在圓點(diǎn)處, 沿任何方向的法曲率. 曲面上非臍點(diǎn)處法曲率的最大值和最小值稱為曲面在這點(diǎn)處的主曲率. 使法曲率取得最值的切方向稱為曲面在該點(diǎn)處的主方向.命題 曲面上一點(diǎn)處的主曲率是方程的兩個(gè)根.命題 主方向滿足方程.注 曲面上一點(diǎn)若為非臍點(diǎn), 則恰有兩個(gè)主方向, 并且它們彼此正交（方向相反的兩個(gè)主方向視為一個(gè)切方向）.曲面上的一點(diǎn)若為臍點(diǎn)，則該點(diǎn)處的任何方向都是主方向.（主方向判定定理，羅德里格()定理）若方向(d)=：是主方向，則,其中，是沿方向()的法曲率；反之，若對(duì)于方向, 有,則()是主方向，并且，是沿方向()的法曲率．證明 由, ,可得.若()是主方向, 則由上個(gè)命題, 可知. 因此. 設(shè). 兩邊與作內(nèi)積, 則. 所以.反之，若對(duì)于方向, 有, 則. 因此．所以()是主方向，且與前面同理可證, 是沿方向()的法曲率． 對(duì)于曲面上的一條曲線，若其上每一點(diǎn)處的切方向都是曲面在該點(diǎn)處的主方向，則此曲線稱為曲面上的曲率線．命題 曲面上的曲率線的微分方程是．定義 曲面上兩族曲率線構(gòu)成的曲線網(wǎng)稱為曲率線網(wǎng)．命題 在不含臍點(diǎn)的曲面上，經(jīng)過參數(shù)的適當(dāng)選擇，總可以把曲紋坐標(biāo)網(wǎng)取為曲率線網(wǎng)．注 當(dāng)曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)時(shí), 為曲線(曲率線)的切方向, 為曲線(曲率線)的切方向. , . 曲面的第一和第二基本形式分別簡(jiǎn)化為，.沿方向的法曲率，. （歐拉（）公式） 若曲面一點(diǎn)處的方向與這一點(diǎn)處的第一主方向的夾角為，則該方向上的法曲率與這點(diǎn)的主曲率和之間有如下關(guān)系：.其中是第一主方向上的法曲率. 這個(gè)式子稱為歐拉公式．證明 在臍點(diǎn)處, 公式顯然. 在非臍點(diǎn)的附近, 將無(wú)臍點(diǎn)出現(xiàn). 于是可取曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為曲率線網(wǎng)，從而有其中角與曲紋坐標(biāo)的選擇無(wú)關(guān)．8. 曲面的高斯曲率與平均曲率定義 設(shè)和為曲面上一點(diǎn)處的兩個(gè)主曲率. 則它們的乘積稱為曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率，通常用表示。 它們的平均數(shù)稱為曲面在這點(diǎn)的平均曲率，通常用表示．命題 ,．定義 曲面上的點(diǎn)根據(jù)其高斯曲率的取值可以分為如下三類：1. 橢圓點(diǎn)：。2. 雙曲點(diǎn)：。3. 拋物點(diǎn)：. 命題. 證明 . , 得到. 設(shè)給定兩個(gè)曲面，. 若它們的第一基本形式和作為, 的二次型相等，即=，則這兩個(gè)曲面有相同的高斯曲率．例2 試求旋轉(zhuǎn)曲面()的高斯曲率和平均曲率．解,.因此，．,，.故= d=，. .于是，．從而，，．所以，．例3 對(duì)于給定曲面，若曲面上每一點(diǎn)處的平均曲率，則該曲面稱為極小曲面．可以證明，以空間閉曲線為邊界的曲面域中，面積最小的曲面是極小曲面，即平均曲率為0的曲面．極小曲面的實(shí)際模型是將空間中彎曲成閉曲線的鉛絲浸入肥皂溶液中，取出時(shí)所得的皂膜曲面．現(xiàn)在求極小旋轉(zhuǎn)曲面，即的旋轉(zhuǎn)曲面．由例2可知，．于是．由此可得，即．積分后可得（為常數(shù)），即．上式可以化為．積分后得，即．但這兩式實(shí)為同一式:. 為簡(jiǎn)便, 取(懸鏈線). 這里省略了積分常數(shù)，因?yàn)樗徊贿^表示平行于旋轉(zhuǎn)軸的平移而已．所以，曲面是由懸鏈線旋轉(zhuǎn)而成，稱為懸鏈面．在形狀上，它很像壓扁的旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面．
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