微分幾何曲面doc-全文預覽
【正文】 、第二基本形式例35. 雙參數(shù)活動標架的基本定理 確定正螺面r ={u cos v, u sin v, bv}(b≠0為常數(shù))上的雙參數(shù)活動標架的基本方程中的本質(zhì)分量.解3 雙參活動標架的基本方程給定曲面: r = r(u,v)上的一個雙參數(shù)活動標架為[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)].設其中和(i,j=1,2,3)都是關于du和dv的Pfaff形式，其系數(shù)為(u,v)的函數(shù)．引理) 設給定平面區(qū)域D上的兩個線性無關的Pfaff形式和（即）. 若另有D上的兩個Pfaff形式和, 使得, 則存在D上的函數(shù)（i,j = 1,2），使得2. 外微分形式在平面上建立直角坐標系，點的坐標用(u, v)表示. du和dv是坐標的微分．用表示坐標微分之間的外乘運算. 規(guī)定dudv = dvdu,dudu =0,dvdv =0. 設f(u, v)是定義在平面區(qū)域D上的函數(shù)，則f(u, v)dudv稱為D上的以dudv為基底的二次外微分形式．設f(u, v)和g(u, v)都是定義在平面區(qū)域D上的函數(shù). 則f(u, v)du + g(u,v)dv稱為D上以du和dv為基底的一次外微分形式，也稱為發(fā)甫（Pfaff）形式．區(qū)域D上的函數(shù)f(u, v)稱為0次外微分形式. 對于兩個一次外微分形式，, 和的外乘規(guī)定為=.它是一個二次外微分形式. 設都是一次外微分形式. 則（為常數(shù)），，．設D是平面上的一個區(qū)域，D上的兩個Pfaff形式，和分別對應D上的兩個向量場a = {},b = {}. 若它們在D上的每一點處都是線性無關的，則稱這兩個Pfaff形式線性無關． r和r也可由和e線性表示. 即r=，r= + e. 曲面上的雙參數(shù)活動標架 求圓柱面r = {}(為常數(shù))上任意點的切平面和法線的方程．解 特例例經(jīng)過點的曲線的方程為, 該曲線在點的切向量. 由于在上的任何點處, 和不平行, 故上的點都是正則點, 從而是正則曲面. 定義 （1）圓柱面（例1（1））: cos，sin，z = z. （2）球面（例1（2））: coscos，cossin，sin. (3) 旋轉(zhuǎn)面（例1（3））: x =，y =，．(4) 連續(xù)函數(shù)的圖象（例1（4））1. 曲面及其參數(shù)表示曲面的坐標形式的參數(shù)方程:. 曲面的向量形式的參數(shù)方程:, . 簡記為, .稱為曲面的參數(shù)或曲紋坐標．也稱是點的參數(shù)或曲紋坐標. 例1 (1) 圓柱面cos，sin，z = z,. 其中常數(shù)為截圓的半徑．167。 當, 時, , , . 于是是點的曲紋坐標. (2) 球面coscos，cossin，sin，. 這里, 稱為經(jīng)度，稱為緯度. 是球面的半徑．(3) 旋轉(zhuǎn)面把xz平面上一條曲線：x =，繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)面:x =，y =，．坐標曲線曲線：, 即. 曲線：, 即. 一般地, 通過每一點, 有唯一一條曲線和唯一一條曲線. 曲紋坐標網(wǎng)例2 曲面的切平面和法線在曲面上的(,)點處, u曲線的切向量, v曲線的切向量． 在雙葉雙曲面的一葉(、和均為正的常數(shù), , )上, 經(jīng)過點的曲線的方程為, 該曲線在點的切向量。曲面：r = r(u, v)上曲線Γ的(曲紋)坐標式參數(shù)方程Γ: u = u(t)，v = v(t).Γ的向量式參數(shù)方程:r = r(u(t), v(t)) = r(t). 其切方向(t) = r+ r.也可寫為d
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