【正文】 條動直線的運動軌跡. 該動直線與一條稱為旋轉(zhuǎn)軸的定直線垂直相交,并圍繞軸作勻速轉(zhuǎn)動, 同時, 動直線還沿軸的方向作勻速直線運動. 求正螺面的第一基本形式.解 由例1, 可知E=1, F=0, G=．所以r={cos v, sin v, 0}，=r={u sin v, u cos v, b}，e=rr={b sin v, b cos v, u}.，.d=d{cos v, sin v, 0}={0,0,0}du +{sin v, cos v, 0}dv,de=dsin v, cos v, ={u sin v, u cos v, b}du + {cos v, sin v, 0}dv. , 注 外微分運算對于0次外微分形式f(u, v)，定義df(u, v) =；對于一次外微分形式, 定義==.對于二次外微分形式，定義=．注1. 曲面的雙參數(shù)活動標(biāo)架定義曲面：r = r(u, v)的第一基本量E(u, v) = rr，F(xiàn)(u, v) = rr，G(u, v) = rr.令, .根據(jù)Lagrange恒等式，有( rr)( rr) = r r－(rr)= EG－F．于是．令由此得到曲面上的正交右手系標(biāo)架[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)]. 由于它依賴于兩個參數(shù)u和v, 故稱之為曲面的雙參數(shù)活動標(biāo)架. 注1 對曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有r= {1，0，}，r= {0，1，}. 所以曲面在點(,)的切平面的方程為：. 當(dāng), 時, , , . 于是是點的曲紋坐標(biāo). 曲面在正則點的鄰域中總可以有形如z = z(x, y)的參數(shù)表示．曲面Σ上一點P0處的切方向(方向): Σ上的經(jīng)過P的曲線Γ在P0的切方向. 167。, 有, , .故有雙參數(shù)活動標(biāo)架的基本方程其中本質(zhì)的相對分量是、和. 其具體表達式可由下列關(guān)系式導(dǎo)出: 設(shè)給定曲面: r = r(u, v). 選取雙參數(shù)活動標(biāo)架[r；，e，e]. 則稱為曲面的第一基本形式. 其中(i=1, 2)是與的通常乘積（不是外微分形式的外乘）.例3 曲面上第一、第二基本形式的幾何 設(shè)點是曲面上的曲線上的一點, 是在點的曲率, 是在點的主法向量. 則稱為在點的曲率向量, 稱為在上的點處沿曲線的切方向的法曲率. 當(dāng)時, 規(guī)定法曲率.定義 臍點分為平點和圓點兩種. 可以證明: 球面上的點都是圓點, 平面上的點都是平點. 注2定義3. 拋物點：. 例3 它們的平均數(shù)稱為曲面在這點的平均曲率，通常用表示．（主方向判定定理，羅德里格()定理）若方向(d)=：是主方向，則,其中，是沿方向()的法曲率；反之，若對于方向, 有,則()是主方向，并且，是沿方向()的法曲率．證明4. 曲面的正交曲紋坐標(biāo)網(wǎng)命題 求正螺面r (為常數(shù))的第二基本形式.解例33 雙參活動標(biāo)架的基本方程給定曲面: r = r(u,v)上的一個雙參數(shù)活動標(biāo)架為[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)].設(shè)其中和(i,j=1,2,3)都是關(guān)于du和dv的Pfaff形式，其系數(shù)為(u,v)的函數(shù)．2. 外微分形式在平面上建立直角坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)用(u, v)表示. du和dv是坐標(biāo)的微分．用表示坐標(biāo)微分之間的外乘運算. 規(guī)定dudv = dvdu,dudu =0,dvdv =0. 設(shè)f(u, v)是定義在平面區(qū)域D上的函數(shù)，則f(u, v)dudv稱為D上的以dudv為基底的二次外微分形式．