微分幾何曲面doc(編輯修改稿)
2025-07-21 23:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ．命題 ，. 證明 . . , (i,j=1,2,3)．, 有, , .故有雙參數(shù)活動標架的基本方程其中本質(zhì)的相對分量是、和. 其具體表達式可由下列關(guān)系式導(dǎo)出:例2 確定正螺面r ={u cos v, u sin v, bv}(b≠0為常數(shù))上的雙參數(shù)活動標架的基本方程中的本質(zhì)分量.解 由例1, 可知E=1, F=0, G=．所以r={cos v, sin v, 0}，=r={u sin v, u cos v, b}，e=rr={b sin v, b cos v, u}.，.d=d{cos v, sin v, 0}={0,0,0}du +{sin v, cos v, 0}dv,de=dsin v, cos v, ={u sin v, u cos v, b}du + {cos v, sin v, 0}dv. , 注 由于比簡單, 所以在計算時, 不用公式. 4. 雙參數(shù)活動標架的結(jié)構(gòu)方程5. 雙參數(shù)活動標架的基本定理6. 雙參數(shù)活動標架結(jié)構(gòu)方程的代數(shù)認識 在曲面上, 處處有. 其中a、b和c都是和的函數(shù).例3 對正螺面r ={u cos v, u sin v, kv}, 將其相對分量和用和表示時的系數(shù)函數(shù)求出來. 解，., .于是，由,可得.由, 可得.167。 曲面上的第一、第二基本形式 設(shè)給定曲面: r = r(u, v). 選取雙參數(shù)活動標架[r；，e，e]. 則稱為曲面的第一基本形式. 其中(i=1, 2)是與的通常乘積（不是外微分形式的外乘）. I . 其中、和為曲面的第一類基本量. 設(shè)給定曲面：r = r(u, v). 則Ⅱ= drde稱為曲面的第二基本形式. 命題(第二基本形式的幾種表達法)Ⅱ=drde=re==. 證明 微分等式兩邊, 得re= drde.于是Ⅱ=re. Ⅱ.Ⅱ. 例2 求圓柱面Σ:r ={,z}(為常數(shù))的第一基本形式.解 r= r={,0}, r= r={0,0,1}.于是,.,.所以Ⅰ.例3 求球面r ={,}(為常數(shù))的第一基本形式.解r= r={,0}，r= r={，}.從而, , .于是，.所以Ⅰ.例4 正螺面是這樣一種曲面, 它是一條動直線的運動軌跡. 該動直線與一條稱為旋轉(zhuǎn)軸的定直線垂直相交,并圍繞軸作勻速轉(zhuǎn)動, 同時, 動直線還沿軸的方向作勻速直線運動. 求正螺面的第一基本形式.解 取旋轉(zhuǎn)軸為軸，軸的正向與動直線的勻速直線運動方向一致. 以表示旋轉(zhuǎn)時的角速度, 表示作勻速直線運動的速度. 取時的位置為軸. 以表示上的點到軸的有向距離. 于是在時刻, 與軸正向的夾角, . 從而, , . 即, , . 令(常數(shù)). 則正螺面有參數(shù)方程, , . 從而其向量式方程為.其中和為參數(shù). 故, .從而, , .于是,.所以 Ⅰ.例5 求球面r ={,}(為常數(shù))的第二基本形式.解 由例3可知={,0}, e={,,},e={,}.,={,0}{,}, 所以Ⅱ．例6 求正螺面r (為常數(shù))的第二基本形式.解 因為r,r. . ,e,e. ，,. 所以Ⅱ.167。 曲面上第一、第二基本形式的幾何1. 曲
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1