第二類曲面積分的計算方法-doc(編輯修改稿)
2025-09-01 15:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 曲面由參數(shù)方程給出：.若在上各點他們的函數(shù)行列式不同時為零，則分別有(1)(2)(3)注三式中的正負(fù)號分別對應(yīng)曲面的兩個側(cè)，特別當(dāng)平面的正方向?qū)?yīng)于曲面所選定的正向一側(cè)時，取正號，否則取負(fù)號.(4)例如若為：，則可以看成參數(shù)為的參數(shù)方程確定的曲面，則由于，所以由此可見，只要確定一次符號且不需要向其它坐標(biāo)平面進行投影，從而比我們常用的方法更簡便.下面舉例說明：例1計算，其中為橢圓面的上半部分并選取外側(cè).解把曲面表示為參量方程：.由式有其中=，式右端正號，即例2計算積分，為曲面的上側(cè).解取，則，..從而.例3計算其中是球面的上半部分并取外側(cè)為正向.解1可表示為其中由于積分按S上側(cè)進行，且==1，故式應(yīng)取正號，而所以解2由于可表示為，所以本例計算雖然簡單，但不難看出用公式計算時不必對分劃并討論符號代之以在平面上二重積分.例4計算其中，是球面，且設(shè)積分是沿球面外側(cè).解可表示為.由于在第一象限積分按上側(cè)積分，而=，故應(yīng)取正號.因為=類似可求得=，所以.設(shè)光滑曲面：,（是在平面上的投影區(qū)域），函數(shù)在上連續(xù)，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，當(dāng)取上側(cè)時，上式右邊取正號；當(dāng)取下側(cè)時，上式右邊取負(fù)號.若的方程為，也有類似的公式：；當(dāng)取前側(cè)時，上式右邊取號；當(dāng)取后側(cè)時，上式右邊取負(fù)號..當(dāng)取右側(cè)時，上式右邊取正號；當(dāng)取左側(cè)時，上式右邊取負(fù)號.例1計算積分，其中為圓錐面介于部分的上側(cè).解的方程為，取左側(cè)，則原式.例2求，其中為錐面部分的正側(cè).解：，則，.又在平面上的投影：.因為取下側(cè)，所以最后一個等號用到二重積分的對稱性質(zhì).分項投影法是利用第二型曲面積分的線性性：分別將右式三項投影到平面上，由于分別投影直接計算二重積分，避免投影到一面上偏導(dǎo)的計算，此法非常實用，看似復(fù)雜，實則簡單，非常實用.計算中要注意原曲面與投影曲面一一對應(yīng)，若不一一對應(yīng)要分項投影，如一個完整的球投影到平面上，上下半球曲面要分別投影計算，計算中注意利用方向性等性質(zhì)以
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