【正文】 =1 S：， 且所以ST：，且故旋轉(zhuǎn)變換之積仍為旋轉(zhuǎn)變換；又因?yàn)? T1： 且 A1=，故旋轉(zhuǎn)變換之逆仍為旋轉(zhuǎn)變換，所以繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)成群。第六章 二次曲線的射影性質(zhì) 試求二階曲線的方程，它是由兩個(gè)射影線束x1－λx3=0與x2－λ39。x3=0（）所決定的。解：∵ （1）由x1－λx3=0； x2－λ39。x3=0將(2)(3)代入(1)得：故所求二階曲線的方程為： 在平面上給定四點(diǎn)A，B，C，D，其中無(wú)三點(diǎn)共線，求滿足條件P(AB，CD)=定值k的點(diǎn)P的軌跡。解：，可決定唯一的二階曲線，由定理4，二階曲線上四點(diǎn)與其上任意第五點(diǎn)所聯(lián)直線的交比為常數(shù)。因此，此題關(guān)鍵是作出一點(diǎn)E，使E(AB，CD)=k。則滿足條件P(AB，CD)=k。假設(shè)E點(diǎn)已作出，過(guò)無(wú)三點(diǎn)共線的五點(diǎn)A，B，C，D，E可唯一決定一條二階曲線。作法：過(guò)A任作一直線1與直線CD交于A39。，再在CD上作B39。使(A39。B39。，CD)=k，然后連接B39。B交1于E，則二階曲線唯一確定之后，在其上任取一點(diǎn)P都有P(AB，CD)=E(AB，CD)=E(A39。B39。，CD)=k（圖18） 建立一個(gè)透視對(duì)應(yīng)使以A1(1，0，0)為中心的線束對(duì)應(yīng)于以A2（0，1，0）為中心的線束；并求這兩透視線束所產(chǎn)生的變態(tài)二階曲線的方程。解：因?yàn)榈慕稽c(diǎn)為A1，過(guò)A1的線束方程為：x2－λx3=0 （1）又的交點(diǎn)A2，過(guò)A2的線束方程為：x1－μx3=0 （2） 若線束A1線束A2，則 （3）將(1)(2代入(3)得：x2 (γ x1+δ x3 ) x3 (a x1+β x3 ) = 0 （4）若線束A1線束A2，則x3=0為自對(duì)應(yīng)直線（即x3=0，變?yōu)閤3=0），即（3）式中μ=∞時(shí)對(duì)應(yīng)于λ=∞，∴γ=0 ，化簡(jiǎn)為x3（－α x1+δ x2－β x3）=0, 且αδ≠0 （5）若A3（0，0，1）在（5）式所表示曲線Γ上，則有β = 0，再E（1，1，1）在（5）式所表示曲線Γ上，則有－α + δ=0，這時(shí)（5）式變?yōu)椋簒3(－ax1+ax2)=0，a≠0,二透視線束產(chǎn)生的變態(tài)二階曲線的方程為：x3（x1 －x2）=0 給定二次曲線上五點(diǎn)，求作曲線上另外一些點(diǎn)。 解：（圖19 ）已知二次曲線上五點(diǎn)1，2，3，4，5。根據(jù)巴斯卜逆定理可作出二次曲線上其余的點(diǎn)。作法： 1245=A，過(guò)A任作一直線P作為巴斯卡線，34P=C，23P=B，所以1C5B=6，即為二次曲線上的另一點(diǎn)，因?yàn)?，2，3，4，5五點(diǎn)決定唯一的二次曲線Γ，由巴斯卡定理及作圖知，點(diǎn)6在Γ上，當(dāng)直線P變動(dòng)時(shí)，得到不同位置的點(diǎn)6。給定一二次曲線上五點(diǎn)，利用巴斯卡定理作曲線在此五點(diǎn)之一的切線。 解：（圖20）已知二次曲線Γ上五點(diǎn)1，2，3，4，P（令P≡5≡6），則（1245）≡A，（1634）≡C，（AC23）≡B，則PB即為所求的以P為切點(diǎn)的切線。由巴斯卡定理得證。 設(shè)六角形的對(duì)邊互相平行，求證這六角形內(nèi)接于一二次曲線。 解：（圖21） 由巴斯卡定理：因?yàn)椋?245）= I∞，（2356）=Ⅱ∞， （3461）= Ⅲ∞，因?yàn)槠矫嫔现挥幸粭l無(wú)窮遠(yuǎn)直線l∞，所以六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線（共無(wú)窮遠(yuǎn)直線），則此六邊形必內(nèi)接于一二次曲線。 內(nèi)接于圓的兩個(gè)三角形ABC與A39。B39。C39。中，設(shè)交點(diǎn)P=ABA39。B39。， Q=BCB39。C39。，X=CA39。C39。A，證這三點(diǎn)共線。 解：（圖22）兩三角形的頂點(diǎn)看成圓內(nèi)接六邊形ABCA39。B39。C39。，由巴斯卡定理：令A(yù)≡1，B≡2，C≡3，A39?！?，B39?！?，C39。≡6，則有P=ABA39。B39。=1245，Q=BCB39。C39。=2356，X=CA39。C39。A=3416，所以P，Q，X共線。從一點(diǎn)y向二次曲線引兩條切線，證明這兩條切線的方程可寫(xiě)作：證：設(shè)點(diǎn)y（y1，y2，y3）是平面上的已知點(diǎn)， 設(shè)x（x1，x2，x3）為平面上任一點(diǎn)， 這兩點(diǎn)的聯(lián)線上任一點(diǎn)W可表為W=x+λy，W在二次曲線上的充要條件是：又點(diǎn)x在由點(diǎn)y引向二次曲線的切線上的充要條件是：確定聯(lián)線與二次由線的交點(diǎn)的這個(gè)二次方程有等根（從而交點(diǎn)重合），即： 證明以 x1x3－x22=0為點(diǎn)坐標(biāo)方程的二次曲線，它的線坐標(biāo)方程為 4u1u2－u22=0。 證：二次曲線 x1x3－x22=0， ，故為常態(tài)二次曲線， 其對(duì)應(yīng)的二級(jí)曲線方程為： 展開(kāi)行列式并化簡(jiǎn)便得線坐標(biāo)方程為：4u1u2－u22=0證明以u(píng)1u3－u22=0為線坐標(biāo)方程的二次曲線，它的點(diǎn)坐標(biāo)方程為4x1x3－x22=0 。證：u1u3－u22=0，故為常態(tài)二級(jí)曲線，其對(duì)應(yīng)的二階曲線的方程為： 展開(kāi)行列式并化簡(jiǎn)便得點(diǎn)坐標(biāo)方程為：4x1x3－x22=0 。1證明以4u1u3－u22=0 為線坐標(biāo)方程的二次曲線，它的點(diǎn)坐標(biāo)方程為：x1x3－x22=0。 證：已知二級(jí)曲線4u1u3－u22=0，故為常態(tài)二級(jí)曲線。其對(duì)應(yīng)的二階曲線的方程為： 展開(kāi)行列式并化簡(jiǎn)便得點(diǎn)坐標(biāo)方程為：x1x3－x22=0 。1求下列二次曲線的秩，如果是變態(tài)的，試求其奇異點(diǎn)。 （i）2x12－x22+5x32－4x2x3+7x1x3－x1x2=0 （ii）2x12+3x22－x23+2x2x3－x3x1+ x1x2=0 （iii）x21+4x22+4x23－8x2x3+4x3x1－4x1x2=0解：（i），但 ，所以二次曲線的秩為2.2x12－x22+5x32－4x2x3+7x1x3－x1x2=0可化為（x1－x2+x3）(2x1+x2+5x3)=0表兩直線, 其交點(diǎn)(2,1,1)為奇異點(diǎn)。 (ii) ∴秩為3，二次曲線為常態(tài)的，無(wú)奇異點(diǎn)。（iii）且任一二階行列式皆為0，所以秩為1。 原方程x21+4x22+4x23－8x2x3+4x3x1－4x1x2=0，進(jìn)行因式分解可化為（x12x2+2x3）2=0，即x12x2+2x3=0為兩條重合直線，此直線上每點(diǎn)都是奇異點(diǎn)。第七章 二次曲線的仿射性質(zhì)求二次曲線 x2+3xy4y2+2x－10y=0的中心與漸近線。解：二次曲線的齊次方程為：x12+3x1x24x22+2x1x3－10x2x3=0，∴二次曲線為常態(tài)的，設(shè)中心 則中心為求漸近線方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x－ξ，Y=y－η。 從X2+3XY－4Y2=0 →（X+4Y）（X－Y）=0.X+4Y=(x－)+4 (y+)=0→5x+20y+18=0，X－Y=(x－)－(y+)=0→5x－5y－8=0。 證明雙曲線：的兩條以λ，λ39。為斜率的直徑成為共軛的條件是λλ39。=解：漸近方向?yàn)閎2x2－a2y2=0，漸近斜率為k=，k39。=－，λ，λ39。是一對(duì)共軛直徑的斜率，故（ λλ39。，kk39。）=－1,即 ，化簡(jiǎn)后得： 2λλ39。+2kk39。=0因?yàn)閗k39。=， 所以λλ39。 =。 證明：拋物線的固定方向的平行弦中點(diǎn)在一直線上；由此更證明當(dāng) 平行弦的方向改變時(shí)，這些直線互相平行。 解：拋物線Γ切無(wú)窮遠(yuǎn)直線1∞ 于一點(diǎn)C（圖28），平行弦AiBi的中點(diǎn)Qi是平行弦公共點(diǎn)Pi關(guān)于弦的端點(diǎn)Ai，Bi的調(diào)和共軛點(diǎn)，即是說(shuō)點(diǎn)Qi是Pi關(guān)于Γ的共軛點(diǎn)，所以都在點(diǎn)Pi的極線pi上，C亦是Pi的一個(gè)共軛點(diǎn)，所以極線pi通過(guò)C。換一組平行弦即換一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)P，以上性質(zhì)不變，所以拋物線任一組平行弦中點(diǎn)共線。這線可以變，但其方向不變，因?yàn)樗鼈兌纪ㄟ^(guò)點(diǎn)C。 設(shè)有一平行四邊形外切于一橢圓，而且兩邊各平行于一對(duì)共軛直徑，試證這種平行四邊形的面積一定。解：設(shè)AOA39。，BOB39。為正交笛卡爾坐標(biāo)系下橢圓的任一對(duì)共軛 直徑（圖29）它們的斜率各為λ，λ39。，有λλ39。=。設(shè)點(diǎn)A為A(x1，y1)，則λ=，從而得λ39。=。將BOB39。的方程y=λ39。x與聯(lián)立求得交點(diǎn)B 所求平行四邊形的面積S=8 =4ab( ) =4ab(常量) 共軛直徑與橢圓的交點(diǎn)至中心的距離稱(chēng)為共軛半徑，試證任何二共軛半徑之平方和等于定值。 解：（圖24）所求和=OA2+OB2 =(x12+y12)+[]=x12(1+)+y12(1+)= (a2+b2)()=a2+b2(常量)。