【正文】 ......... 3 提出問題 .............................................................. 3 3等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì) .......................................... 3 等價無窮小量的概念 .................................................... 4 等價無窮小量的重要性質(zhì) ................................................ 5 等價無窮小量性質(zhì)的推廣 ................................................ 5 4 等價無窮小量的應(yīng)用 ...................................................... 9 求函數(shù)的極限 .......................................................... 9 等價無窮小量在近似計算中的應(yīng)用 ....................................... 10 利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限 ................................. 10 等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應(yīng)用 ................................... 11 5等價無窮小量的優(yōu)勢 ..................................................... 12 運(yùn)用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢 ..................................... 12 等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢 ................................. 14 6 結(jié)論 ................................................................... 15 主要發(fā)現(xiàn) ............................................................. 15 啟示 ................................................................. 15 局限性 ............................................................... 16 努力方向 ............................................................. 16 參 考 文 獻(xiàn) .............................................................. 17 3 1 引言 等價無窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一 ,但在微積分理論中等價無窮小量的性質(zhì)僅僅在 “ 無窮小的比較 ” 中出現(xiàn)過 ,其他地方似乎都未涉及到 .其實(shí) ,在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性 ,特別是在求極限的運(yùn)算過程中 ,無窮小具有很好的性質(zhì) ,掌握并充分利用好它的性質(zhì) ,往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化 ,可起到事半功倍的效果 ,反之 ,則會錯誤百出 ,有時還很難判斷錯在什么地方 .因此 ,有必要對等價無窮小量的性質(zhì)進(jìn)行深刻地認(rèn)識和理解 ,以便恰當(dāng)運(yùn)用 ,達(dá)到簡化運(yùn)算的目的 . 2 文獻(xiàn)綜述 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 現(xiàn)查 閱到的國內(nèi)外參考文獻(xiàn) [1— 15]中，作者們都不同程度地探討了等價無窮小的概念及其重要性質(zhì)和應(yīng)用。比較審斂法 。 常見性質(zhì)有： 設(shè) α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過程中的無窮小， ① 若 α ～α′,β ～ β′ ， 且 limα′β′ 存在，則 limαβ=limα′β′ ② 若 α ～ β ， β ～ γ ，則 α ～ γ 性質(zhì) ① 表明等價無窮小量的商的極限求法。BβCα177。Dβ′≠0” 的使用。??????=11 139。39。 39。AABB????? ? ?, 39。CD??? . 故命題得證 . (4) 設(shè)在自變量的某一變化過程中 , ()fx、 ()gx、 ()hx 及 1()fx、 1()gx、 1()hx都是無窮小量 . ① 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx??,則有 ()fg? ～ 11()fg? . ② 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx? ,則有 ()fg? ～ 11()fg? . ③ 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、 ()hx ～ 1()hx且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx??,則有 8 111limfgfghh?? ? . 證明 ① 因為 11limfgfg?? = 11111lim 1gf ffgf ff??= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff??. 又因為 11lim lim 1ffgg? ? ?, 故上式等于 1. ② 因為 11limfgfg?? = 11111lim 1gf ffgf ff??= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff??. 又因為 11lim lim 1ffgg??, 故上式等于 1. ③ 要證 111limfgfghh?? ? 成立 ,只需證 111lim 1hfgh f g? ?? ,因為 fg? ～ 11fg? , ()hx ～ 1()hx, 所以結(jié)論得證 . 性質(zhì)（ 1）、（ 3）的求極限中就使等價無窮小量的代換有了可能性 ,從而大大地簡化了 計算 .但要注意條件 “l(fā)im ?? =c(≠ 1)” ,“ 39。、盛祥耀老師的 171。 局限性 有關(guān)等價無窮小量優(yōu)越性和等價無窮小量的性質(zhì)及性質(zhì)的推廣應(yīng)用的例題還有很多，本文探討了重要的一些例子，對于什么時候用等價無窮小量的性質(zhì)，什么時候用洛必達(dá)法則，什么時候有等價無窮小量和洛必達(dá)法則一起使用就沒有一一舉例了