數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限概念-展示頁
2024-09-01 12:13本頁面
【正文】 f 當(dāng) 00()x x x x????時(shí)的右 (左 ) .))(lim()(lim00AxfAxf xxxx ?? ?? ??右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限 , 為了方便起見， ).(lim)0(,)(lim)0(00 00xfxfxfxf xxxx ?? ?? ????時(shí)，有當(dāng) )0(0 00 ?? ?????? xxxx極限 ,記作 有時(shí)記 返回 后頁 前頁 例 7 討論函數(shù) .11 2 處的單側(cè)極限在 ??? xx解 因?yàn)? ,1|| ?x ),1(2)1()1(1 2 xxxx ??????.|01| 2 ???? x.01lim 21 ???? xx這就證明了.01l i m 21 ????? xx同理可證所以 有時(shí)當(dāng) ,11 ??? x? ,2,02??? ??? 取返回 后頁 前頁 由定義 ，我們不難得到： 注 試比較定理 與定理 180。返回 后頁 前頁 167。 1 函數(shù)極限概念 一、 x趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 二、 x趨于 x0 時(shí)的函數(shù)極限 三、單側(cè)極限 在本章 ,我們將討論函數(shù)極限的基本 聯(lián)系 ,它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理 . 函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的 概念和重要性質(zhì) .作為數(shù)列極限的推廣 , 返回返回 后頁 前頁 一、 x趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 設(shè)函數(shù) 定義在 )(xf ? ???,aA)(xfxyO極限 . ??f (x)當(dāng) x 趨于 時(shí)以 A為 也無限地接近 A,我們就稱 無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí) ,函數(shù) f (x) 上 ,當(dāng) x 沿著 x 軸的正向 返回 后頁 前頁 x 趨于 例如 函數(shù) ,ar c t an xy ? 當(dāng) 時(shí) , ??xyπ210 20 30 40 O 1 為極限 . 以 xa rcta n π2返回 后頁 前頁 記為 或者 l i m ( )x f x A? ? ? ?).()( ???? xAxf定數(shù) , 若對于任意正數(shù) 存在 使得 ，0?? ，)( aM ?,)( ??? AxfAxxf 時(shí)以趨于當(dāng) ??)(則稱函數(shù) .為極限,時(shí)Mx ?當(dāng)定義 1 ? ? ., 上的一個(gè)函數(shù)為定義在設(shè) ??af A 為 返回 后頁 前頁 ④ ()A f x A??有 ? ? ? ?l i m ( )x f x A? ?? ? 的 幾 何 意 義③ xM?使 當(dāng) 時(shí)xA??A??① 任意給定 0??M② 存在 Ma?AxyO a返回 后頁 前頁 ④ ()A f x A??有 ? ? ? ?l i m ( )x f x A? ?? ? 的 幾 何 意 義③ xM?使 當(dāng) 時(shí)xA??A??① 任意給定 0??M② 存在 Ma?xAyO a返回 后頁 前頁 注 數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù) . 請大家 所以 (由定義 1), 例 1 證明 .01lim ???? xx 任給 取 證 ,0?? ,1??M ,時(shí)當(dāng) Mx ?,10)( ???? xxf.01lim ???? xx與不同點(diǎn) . 比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點(diǎn) 返回 后頁 前頁 例 2 .2a r c t a nl i m ????? xx證明證 任給 ),2(0 ??? ?? ).2t a n( ?? ??M取這就是說 πl(wèi)im a r c t a n .2x x? ? ? ?時(shí)，當(dāng) Mx ? 嚴(yán)格增，因?yàn)?xar c t anπ π( ) ar c t an22f x x? ? ?π π( ) .22? ? ? ???返回 后頁 前頁 ,)( ??? Axf定義 2 ? ? ,)( 上定義在設(shè) bxf ??.是一個(gè)常數(shù)A,0?? ,0?M存在 ()x M b? ? ?當(dāng) 時(shí)若對于任意記為 Axxf 時(shí)以當(dāng) ???)( ,為極限則稱 Axfx ???? )(l i m 或 ).()( ???? xAxf返回 后頁 前頁 為極限，時(shí)以當(dāng)則稱 Axxf ??)(記為 ,)( ??? Axf定義 3 A ,)()( 內(nèi)的某個(gè)鄰域定義在設(shè) ?? Uxf存在 當(dāng) ，0?M,0??.為一個(gè)常數(shù) 若對于任意xM? 時(shí)Axfx
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