數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性模型-展示頁(yè)
2024-09-01 12:12本頁(yè)面
【正文】 (x10, x20) ~ 代數(shù)方程 0),(0),(2121??xxgxxf 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m011 xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) ,)(l i m 022 xtxt ???模型 福 州 大 學(xué) 20 判斷 P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 —— 直接法 (1)的近似線性方程 )1(),()(),()(212211xxgtxxxftx????)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx??????????02121PxxxxggffA ???????????????????AqgfpqpPxxd et)(00212??平衡點(diǎn) P0穩(wěn)定 (對(duì) 2,1) p 0 且 q 0 平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定 (對(duì) 2,1) p 0 或 q 0 福 州 大 學(xué) 21 ),0(),0,( 2211 NPNP平衡點(diǎn)：???????????????????????????????01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??僅當(dāng) ?1, ?2 1或 ?1, ?2 1時(shí)， P3才有意義 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 PNNP??????????????????福 州 大 學(xué) 22 ????????????????????????????????????????????2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx????平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析 4,3,2,1,de t,)( 21 ????? iAqgfpipipxx?????????????????????????????2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf??平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0 福 州 大 學(xué) 23 種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 平 衡點(diǎn) )0,( 11 Np )1( 221 ??? rrp q)1( 221 ??? rr),0( 22 Np 211 )1( rr ??? ? )1( 121 ??? rr????????????212221113 1)1(,1)1(?????? NNp2121211)1)(1(???????rr)0,0(4p )( 21 rr ?? 21rr2122111)1()1(???????? rr?21, ?11, P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn) P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn) ?11, ?21 P1穩(wěn)定的條件 ?11 ? ?11 ?21 穩(wěn)定條件 福 州 大 學(xué) 24 221122122111211),(1),(NxNxxxNxNxxx??????????12 /?N21 /?N 1N2N1P?1x2x0 0??0??S1 S2 S3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??0,0:1 ?? ??S從任意點(diǎn)出發(fā) (t=0)的相軌線都趨向 P1(N1,0) (t??) P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn) 0,0: 212 ?? xxS ??0,0: 211 ?? xxS ??(1) ?21, ?11 t ? ? x1, x2 ? 0,0: 213 ?? xxS ??t ? ? x1 ?, x2? t ? ? x1, x2? 福 州 大 學(xué) 25 P1 P2 有相軌線趨向 P1 有相軌線趨向 P2 P1穩(wěn)定的條件：直接法 ?21 P1, P2都不(局部 )穩(wěn)定 1x2x12 /?N21 /?N1N2N0 ?3P0??0??(3) ?11, ?21 12 /?N21 /?N1N2N ? 2P1x2x0 0??0??(2) ?11, ?21 1x2x12 /?N21 /?N 1N2N0 ? 3P0??0??(4) ?11, ?21 加上與 (4)相區(qū)別的 ?11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定 P1全局穩(wěn)定 福 州 大 學(xué) 26 結(jié)果解釋 對(duì)于消耗甲的資源而言，乙 (相對(duì)于 N2)是甲 (相對(duì)于 N1)的 ?1 倍。 甲對(duì)乙有同樣的作用。 福 州 大 學(xué) 18 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 ? 當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來(lái)源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見(jiàn)的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。 0?k 0?g模型的定性解釋 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 福 州 大 學(xué) 16 3）若 g,h 不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí) x(t), y(t)很小，但因 ，也會(huì)重整軍備。 平衡點(diǎn) klhglyklgkhx????????????00 ,2) 若 g=h=0, 則 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好鄰國(guó)通過(guò)裁軍可達(dá)到永久和平。 進(jìn)一步假設(shè) 1） 2）的作用為線性； 3）的作用為常數(shù) 目的 福 州 大 學(xué) 11 gkyxtx ???? ?)(?建模 軍備競(jìng)賽的結(jié)局 微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 x(t)~甲方軍備數(shù)量， y(t)~乙方軍備數(shù)量 hylxty ??? ?)(??, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 ? 如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量， 漁場(chǎng)魚(yú)量將保持不變 ，則捕撈量穩(wěn)定。 福 州 大 學(xué) 3 捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲 ? 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） ? 再生資源應(yīng)適度開(kāi)發(fā) —— 在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。福 州 大 學(xué) 1 第六章 穩(wěn)定性模型 捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲 軍備競(jìng)賽 種群的相互競(jìng)爭(zhēng) 種群的相互依存 種群的弱肉強(qiáng)食 福 州 大 學(xué) 2 穩(wěn)定性模型 ? 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，而建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì) —— 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 問(wèn)題及 分析 ? 在 捕撈量穩(wěn)定 的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 背景 福 州 大 學(xué) 4 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設(shè) ? 無(wú)捕撈時(shí)魚(yú)的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比 建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長(zhǎng)率 , N~最大魚(yú)量 h(x)=Ex, E~捕撈強(qiáng)度 x(t) ~ 漁場(chǎng)魚(yú)量 福 州 大 學(xué) 5 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點(diǎn) 000 xxx xx ?????設(shè) x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 —— 直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對(duì)穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對(duì)不穩(wěn)定xxF ???福 州 大 學(xué) 6 0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)(
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