【正文】 節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟 (生產(chǎn)率 )增長 1. 道格拉斯 (Douglas)生產(chǎn)函數(shù) 產(chǎn)值 Q(t) ))(),(()( 0 tLtKFftQ ? F為待定函數(shù) 資金 K(t) 勞動力 L(t) 技術 f(t) = f0 福 州 大 學 16 )(/ 0 ygfLQz ?? 10,)( ??? ??yyg0, ????? LQKQ模型假設 靜態(tài)模型 ),(),(0 LKFfLKQ ?每個勞動力的產(chǎn)值 LQz ?每個勞動力的投資 LKy ?z 隨著 y 的增加而增長，但增長速度遞減 y g(y) 0 1. 道格拉斯 (Douglas)生產(chǎn)函數(shù) 含義？ 0,2222????? LQK Q?)/(0 LKLfQ ?Douglas生產(chǎn)函數(shù) ?? ?? 10),( LKfLKQ福 州 大 學 17 ?? ?? 10),( LKfLKK ~ 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值 QL ~ 單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值 ? ~ 資金在產(chǎn)值中的份額 1? ~勞動力在產(chǎn)值中的份額 更一般的道格拉斯 (Douglas)生產(chǎn)函數(shù) 0,1,0,),( 00 ???? fLKfLKQ ????1. Douglas生產(chǎn)函數(shù) ?? ??? 1, QLKQ LKQLQKQ LK ??福 州 大 學 18 0,0 ?????? LSKS?? ??? 1, QLKQ LKrwLK???? 1w ?, r ?, ? ? ? K/L ? 求資金與勞動力的分配比例 K/L(每個勞動力占有的資金 ) ，使效益 S最大 資金和勞動力創(chuàng)造的效益 wLrKQS ???資金來自貸款，利率 r 勞動力付工資 w 2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型） ???? 1KLLKwrLK ?福 州 大 學 19 LyKLKy ?? ,3) 經(jīng)濟 (生產(chǎn)率 )增長的條件 (動態(tài)模型 ) 要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長 , K(t), L(t)應滿足的條件 模型假設 ? 投資增長率與產(chǎn)值成正比 (用一定比例擴大再生產(chǎn) ) ? 勞動力相對增長率為常數(shù) )(0 yLgfQ ? ?yyg ?)( ?? LyfdtdK0?0, ?? ?? QdtdKLdtdL ?? teLtL ?0)( ?LydtdyLdtdK ???福 州 大 學 20 ?? LyfdtdK0?LydtdyLdtdK ?????? yfydtdy0??Bernoulli方程 ???????? ???????????????11)1(0100 )()( tefyfty0010000000 ,/ QKLKfQLKy ??? ??? ? ?00010 KKfy??? ???????? ????????????11)1(000 ])1(1[)( teKKfty ?福 州 大 學 21 )(11/10 )1(00AeKKdtdQ t?? ??????????????? ???成立當 AKKt ),/1)(1l n ()1(1000?????? ???????yygyLgfQ??)()(0 dtdLygfdtdyygLfdtdQ )()(00 ???成立A?? 0?產(chǎn)值 Q(t)增長 dQ/dt 0 3) 經(jīng)濟增長的條件 ])1([ 10120 ?? ???? ?? ??? yfLyf福 州 大 學 22 ???)()( 000 LKfyfLLyftZ ???)(0/100 )1(00BeKKdtdydtdZ t ?????????????? ?? ????成立B?? 0? 成立時當 BKK ,1/0 00 ??? ???勞動力增長率小于初始投資增長率 每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長 dZ/dt0 3) 經(jīng)濟增長的條件 dtdyyfdtdZ 10?? ??福 州 大 學 23 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭 只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱 兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加 戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關 建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例 第一次世界大戰(zhàn) Lanchester提出預測戰(zhàn)役結局的模型 福 州 大 學 24 ???????????0),(),()(0),(),()(????tvyyxgtytuxyxftx??一般模型 ? 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 ? 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 ? 甲乙雙方的增援率為 u(t), v(t) f, g 取決于戰(zhàn)爭類型 x(t) ~甲方兵力， y(t) ~乙方兵力 模型假設 模型 福 州 大 學 25 ???????????)()(tvybxytuxayx????正規(guī)戰(zhàn)爭模型 ? 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力 雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn) xx prbbxg ??? ,? 忽略非戰(zhàn)斗減員 ? 假設沒有增援 ???????????00)0(,)0( yyxxbxyayx??f(x, y)=?ay, a ~ 乙方每個士兵的殺傷率 a=ry py, ry ~射擊率， py ~命中率 福 州 大 學 26 )(ty)(tx0 ak0?k0?kbk?0?k正規(guī)戰(zhàn)爭模型 為判斷戰(zhàn)爭的結局，不求 x(t), y(t)而在相平面上討論 x 與 y 的關系 ???????????00 )0(,)0( yyxxbxyayx??aybxdxdy ?2020 bxayk ??kbxay ?? 22000 ???? yxk 時平方律 模型 甲方勝?? 0k平局?? 0kyyxxprprabxy ??????????200乙方勝 福 州 大 學 27 游擊戰(zhàn)爭模型 雙方都用游擊部隊作戰(zhàn) ? 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 ? 忽略非戰(zhàn)斗減員 ? 假設沒有增援 yrxxxx ssrprdd x yyxg /,),( ???????????????00)0(,)0( yyxxd x yyc x yx??f(x, y)=?cxy, c~ 乙方每個士兵的殺傷率 c = ry py ry~射擊率 py ~命中率 py=sry /sx sx ~ 甲方活動面積 sry ~ 乙方射擊有效面積 福 州 大 學 28 )(tycm0 dm? )(tx0?m0?m0?m游擊戰(zhàn)爭模型 ???????????00 )0(,)0( yyxxd x yyc x yx??00 dxcymmdxcy????乙方勝時????? 000 yxmyryyxrxxssrssrcdxy ??00線性律 模型 甲方勝?? 0m平局?? 0mcddxdy ?福 州 大 學 29 )(ty)(tx0 乙方勝,0?n平局,0?n甲方勝,0?n???????????00)0(,)0( yyxxbxyc x yx??混合戰(zhàn)爭模型 甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊 020222bxcynnbxcy????0200 2cxbxy ?????????乙方勝0?n1 0 0)/( 200 ?xy0200 2xsrsprxyryyxxx?????????乙方必須 10倍于甲方的兵力 設 x0=100, rx/ry=1/2, px=, sx=1(km2), sry=1(m2) 福 州 大 學 30 藥物在體內(nèi)的分布與排除 ? 藥物進入機體形成 血藥濃度 (單位體積血液的藥物量 ) ? 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi) ——給藥方案設計 ? 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 ——藥物動力學 ? 建立 房室模型 ——藥物動力學的基本步驟 ? 房室 ——機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布 (血藥濃度為常數(shù) )，在房室間按一定規(guī)律轉移 ? 本節(jié)討論 二室模型 ——中心室 (心、肺、腎等 )和周邊室 (四肢、肌肉等 ) 福 州 大 學 31 中心室 周邊室 給藥 排除 )(0 tf111 )(),(Vtxtc222 )(),(Vtxtc12k21k13k)()( 02211131121 tfxkxkxktx ??????模型假設 ? 中心室 (1)和周邊室 (2),容積不變 ? 藥物在房室間轉移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比 ? 藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉移 ,從中心室排出體外 模型建立 2,1~~)(~)(?iVtctxiii容積濃度藥量給藥速率~0f2211122 )( xkxktx ???福 州 大 學 32 ???????????tttteBeAtceBeAtc????222111)()(????????1321132112kkkkk??????????????????2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc??2,1),()( ?? itcVtx iii線性常系數(shù)非齊次方程 對應齊次方程通解 模型建立 福 州 大 學 33 )()()(])()[()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc??????????????????????0)0(,)0(,0)( 21010 ??? cVDctf幾種常見的給藥方式 t=0 瞬時 注射劑量 D0的藥物進入中心室 ,血藥濃度立即為 D0/V1 ??????????????2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc??????????1321132112kkkkk????給藥速率 f0(t) 和初始條件 福 州 大 學 34 ?????????????????????????????12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt??????0)0(,0)0(,)( 2100 ??? ccktf ??????????????221112212102211