【正文】 A ???? ??? ?? 02 ?? ?? ???? rrrurrr ??????? )( 2????c o s1 epr?? 32 )(4,s i n2 pr rpArpAer ??? ??? ? ruprAr ????224??rmf ???? ?rrrrprmAf ???? ???0022,4rurr ?? ?福 州 大 學(xué) 63 模型建立 rrrrprmAf ???? ???0022,4萬(wàn)有引力定律 02 rrk M mf ?? ??需證明 4A2/p =kM （與哪一顆行星無(wú)關(guān)） A~單位時(shí)間 掃過(guò)面積 r?32 aT ??abTA ??O (太陽(yáng) ) ? P (行星 ) r r?kM??? /4 2(習(xí)題 ) ? ? / / 2 2 ? p A )1(,co s1 2222eababpe pr ????? ?福 州 大 學(xué) 64 第六章 穩(wěn)定性模型 捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲 軍備競(jìng)賽 種群的相互競(jìng)爭(zhēng) 種群的相互依存 種群的弱肉強(qiáng)食 福 州 大 學(xué) 65 穩(wěn)定性模型 ? 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，而建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì) ——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 福 州 大 學(xué) 66 捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲 ? 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） ? 再生資源應(yīng)適度開(kāi)發(fā) ——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。 ? 如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量， 漁場(chǎng)魚(yú)量將保持不變 ，則捕撈量穩(wěn)定。 進(jìn)一步假設(shè) 1） 2）的作用為線性； 3）的作用為常數(shù) 目的 福 州 大 學(xué) 74 gkyxtx ???? ?)(?建模 軍備競(jìng)賽的結(jié)局 微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 x(t)~甲方軍備數(shù)量， y(t)~乙方軍備數(shù)量 hylxty ??? ?)(??, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 平衡點(diǎn) klhglyklgkhx????????????00 ,2) 若 g=h=0, 則 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好鄰國(guó)通過(guò)裁軍可達(dá)到永久和平。 福 州 大 學(xué) 79 3）若 g,h 不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí) x(t), y(t)很小，但因 ，也會(huì)重整軍備。 0?k 0?g模型的定性解釋 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 ? 當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來(lái)源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見(jiàn)的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。 福 州 大 學(xué) 81 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 甲對(duì)乙有同樣的作用。 11 ??對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲 乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng) 模型 221 Nx??福 州 大 學(xué) 82 模型分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??的趨向時(shí) )(),( 21 txtxt ?? (平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ) (二階 )非線性(自治 )方程 ),()( ),()(212211xxgtxxxftx???? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) P0(x10, x20) ~ 代數(shù)方程 0),(0),(2121??xxgxxf 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m011 xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) ,)(l i m 022 xtxt ???模型 福 州 大 學(xué) 83 判斷 P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 ——直接法 (1)的近似線性方程 )1(),()(),()(212211xxgtxxxftx????)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx??????????02121PxxxxggffA ???????????????????AqgfpqpPxxd e t)(00212??平衡點(diǎn) P0穩(wěn)定 (對(duì) 2,1) p 0 且 q 0 平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定 (對(duì) 2,1) p 0 或 q 0 福 州 大 學(xué) 84 ),0(),0,( 2211 NPNP平衡點(diǎn)：???????????????????????????????01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??僅當(dāng) ?1, ?2 1或 ?1, ?2 1時(shí)， P3才有意義 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 PNNP??????????????????福 州 大 學(xué) 85 ????????????????????????????????????????????2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx????平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析 4,3,2,1,d et,)( 21 ????? iAqgfpipipxx?????????????????????????????2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf??平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0 福 州 大 學(xué) 86 種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 平 衡點(diǎn) )0,( 11 Np )1( 221 ??? rrp q)1( 221 ??? rr),0( 22 Np 211 )1( rr ??? ? )1( 121 ??? rr????????????212221113 1)1(,1)1(?????? NNp2121211)1)(1(???????rr)0,0(4p )( 21 rr ?? 21rr2122111)1()1(???????? rr?21, ?11, P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn) P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn) ?11, ?21 P1穩(wěn)定的條件 ?11 ? ?11 ?21 穩(wěn)定條件 福 州 大 學(xué) 87 221122122111211),(1),(NxNxxxNxNxxx??????????12 /?N21 /?N 1N2N1P?1x2x0 0??0??S1 S2 S3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??0,0:1 ?? ??S從任意點(diǎn)出發(fā) (t=0)的相軌線都趨向 P1(N1,0) (t??) P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn) 0,0: 212 ?? xxS ??0,0: 211 ?? xxS ??(1) ?21, ?11 t ? ? x1, x2 ? 0,0: 213 ?? xxS ??t ? ? x1 ?, x2? t ? ? x1, x2? 福 州 大 學(xué) 88 P1 P2 有相軌線趨向 P1 有相軌線趨向 P2 P1穩(wěn)定的條件：直接法 ?21 P1, P2都不(局部 )穩(wěn)定 1x2x12 /?N21 /?N1N2N0 ?3P0??0??(3) ?11, ?21 12 /?N21 /?N1N2N ? 2P1x2x0 0??0??(2) ?11, ?21 1x2x12 /?N21 /?N 1N2N0 ? 3P0??0??(4) ?11, ?21 加上與 (4)相區(qū)別的 ?11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定 P1全局穩(wěn)定 福 州 大 學(xué) 89 結(jié)果解釋 對(duì)于消耗甲的資源而言，乙 (相對(duì)于 N2)是甲 (相對(duì)于 N1)的 ?1 倍。 2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存 時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 福 州 大 學(xué) 91 ??????????111111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從 Logistic規(guī)律 。 ? 乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用 (服從 Logistic規(guī)律 )。0,0:。0,0:214213212211????????xxSxxSxxSxxS????????1x2x0 21 /?N 1N1S2S3S?2P0??0??4S ?11, ?21, ?1?21 P2穩(wěn)定 福 州 大 學(xué) 94 ?1?21 ~ ?21 前提下 P2存在的必要條件 結(jié)果解釋 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP?21 ~ 甲必須為乙提供足夠的食物 ——甲為乙提供的食物是乙消耗的 ?2 倍 ?11 ~ ?21, ?1?21 的需要，且 ?1必須足夠小，才能在 ?21條件下使 ?1?21 成立 P2穩(wěn)定條件：?11, ?21, ?1?21 ???????? ???221111111 1)( NxNxxrtx ?? 甲可以獨(dú)自生存 ???????? ????22112222 1)( NxNxxrtx ??乙不能獨(dú)立生存 福 州 大 學(xué) 95 種群的弱肉強(qiáng)食(食餌 捕食者模型 ) ? 種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌 捕食者系統(tǒng)，如食用魚(yú)和鯊魚(yú)，美洲兔和山貓，害蟲(chóng)和