【正文】 0,0:。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙大于甲 乙的競爭力強 模型 221 Nx??福 州 大 學 82 模型分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??的趨向時 )(),( 21 txtxt ?? (平衡點及其穩(wěn)定性 ) (二階 )非線性(自治 )方程 ),()( ),()(212211xxgtxxxftx???? 的平衡點及其穩(wěn)定性 平衡點 P0(x10, x20) ~ 代數(shù)方程 0),(0),(2121??xxgxxf 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m011 xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點 ,)(l i m 022 xtxt ???模型 福 州 大 學 83 判斷 P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 ——直接法 (1)的近似線性方程 )1(),()(),()(212211xxgtxxxftx????)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx??????????02121PxxxxggffA ???????????????????AqgfpqpPxxd e t)(00212??平衡點 P0穩(wěn)定 (對 2,1) p 0 且 q 0 平衡點 P0不穩(wěn)定 (對 2,1) p 0 或 q 0 福 州 大 學 84 ),0(),0,( 2211 NPNP平衡點：???????????????????????????????01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??僅當 ?1, ?2 1或 ?1, ?2 1時， P3才有意義 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 PNNP??????????????????福 州 大 學 85 ????????????????????????????????????????????2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx????平衡點穩(wěn)定性分析 4,3,2,1,d et,)( 21 ????? iAqgfpipipxx?????????????????????????????2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf??平衡點 Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0 福 州 大 學 86 種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 平 衡點 )0,( 11 Np )1( 221 ??? rrp q)1( 221 ??? rr),0( 22 Np 211 )1( rr ??? ? )1( 121 ??? rr????????????212221113 1)1(,1)1(?????? NNp2121211)1)(1(???????rr)0,0(4p )( 21 rr ?? 21rr2122111)1()1(???????? rr?21, ?11, P1, P2 是一個種群存活而另一滅絕的平衡點 P3 是兩種群共存的平衡點 ?11, ?21 P1穩(wěn)定的條件 ?11 ? ?11 ?21 穩(wěn)定條件 福 州 大 學 87 221122122111211),(1),(NxNxxxNxNxxx??????????12 /?N21 /?N 1N2N1P?1x2x0 0??0??S1 S2 S3 平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??0,0:1 ?? ??S從任意點出發(fā) (t=0)的相軌線都趨向 P1(N1,0) (t??) P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點 0,0: 212 ?? xxS ??0,0: 211 ?? xxS ??(1) ?21, ?11 t ? ? x1, x2 ? 0,0: 213 ?? xxS ??t ? ? x1 ?, x2? t ? ? x1, x2? 福 州 大 學 88 P1 P2 有相軌線趨向 P1 有相軌線趨向 P2 P1穩(wěn)定的條件：直接法 ?21 P1, P2都不(局部 )穩(wěn)定 1x2x12 /?N21 /?N1N2N0 ?3P0??0??(3) ?11, ?21 12 /?N21 /?N1N2N ? 2P1x2x0 0??0??(2) ?11, ?21 1x2x12 /?N21 /?N 1N2N0 ? 3P0??0??(4) ?11, ?21 加上與 (4)相區(qū)別的 ?11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定 P1全局穩(wěn)定 福 州 大 學 89 結(jié)果解釋 對于消耗甲的資源而言，乙 (相對于 N2)是甲 (相對于 N1)的 ?1 倍。 0?k 0?g模型的定性解釋 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟實力的制約； k, l ~ 對方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競賽的潛力。 ? 如果使捕撈量等于自然增長量， 漁場魚量將保持不變 ，則捕撈量穩(wěn)定。 2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。02 139。 ? 設想一個“機器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。 問題 香煙過濾嘴的作用 福 州 大 學 39 模型假設 定性分析 ??????? QvaMl , 2? ?, 1 ???? Qlb ????? Qu1） l1~煙草長， l2~過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量 M均勻分布，密度 w0=M/l1 2）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是 a180。vlbe 2)(21?????????? ????? vblavl eebavawQ 12 39。 3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 背景 福 州 大 學 67 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設 ? 無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長率 , N~最大魚量 h(x)=Ex, E~捕撈強度 x(t) ~ 漁場魚量 福 州 大 學 68 一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點 000 xxx xx ?????設 x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(lim 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 ——直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對不穩(wěn)定xxF ???福 州 大 學 69 0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場干枯 E~捕撈強度 r~固有增長率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx福 州 大 學 70 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標 x0~平衡點 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標 h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點 P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場魚量為最大魚量的一半 福 州 大 學 71 cErEp N EESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設 ? 魚銷售價格 p ? 單位捕撈強度費用 c 單位時間利潤 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場魚量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 福 州 大 學 72 Es S(E) T(E) 0 r E 捕撈過度 ? 封閉式捕撈 追求利潤 R(E)最大 ? 開放式捕撈 只求利潤 R(E) 0 cErEp N EESETER ????? )1()()()(R(E)=0時的捕撈強度 (臨界強度 ) Es=2ER )1( rENx ss ?? pc?臨界強度下的漁場魚量 ?? cp ,捕撈過度 ER )1(2 pNcrE R ??E* 令=0 )1(pNcrEs ???? ss xE ,福 州 大 學 73 軍備競賽 ? 描述雙方 (國家或國家集團 )軍備競賽過程 ? 解釋 (預測 )雙方軍備競賽的結(jié)局 假設 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟實力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大； 3）由于相互敵視或領土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 福