【正文】 ??福 州 大 學(xué) 76 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????平衡點(diǎn) P0(0,0) 微分方程一般解形式 tt ecec 2121?? ?平衡點(diǎn) P0(0,0)穩(wěn)定 平衡點(diǎn) P0(0,0)不穩(wěn)定 ?1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 福 州 大 學(xué) 77 klAqp????????????????d e t0)(klhglyklgkhx????????????00 ,平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 ???????????lkA系數(shù)矩陣 平衡點(diǎn) (x0, y0)穩(wěn)定的條件 0,0 ?? qpkl?????????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 軍備競賽 福 州 大 學(xué) 78 模型的定性解釋 kl???雙方軍備穩(wěn)定 (時(shí)間充分長后趨向有限值 )的條件 1) 雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時(shí)，軍備競賽 才會(huì)穩(wěn)定，否則軍備將無限擴(kuò)張。 ? 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。 3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長。 ? 模型的歷史背景 ——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降 (食用魚和鯊魚同時(shí)捕撈 )，但是其中 鯊魚的比例卻增加，為什么？ 福 州 大 學(xué) 96 食餌（甲）數(shù)量 x(t), 捕食者（乙）數(shù)量 y(t) 甲獨(dú)立生存的增長率 r rxx ??乙使甲的增長率減小，減小量與 y成正比 xayrtx )()( ???乙獨(dú)立生存的死亡率 d dyy ???甲使乙的死亡率減小，減小量與 x成正比 ybxdty )()( ????方程 (1),(2) 無解析解 食餌 捕食者模型 (Volterra) a ~捕食者掠取食餌能力 b ~食餌供養(yǎng)捕食者能力 )1(ax yrx ??)2(bx ydy ???福 州 大 學(xué) 97 Volterra模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 a x yrxxayrtx ???? )()(?b x ydyybxdty ?????? )()(?平衡點(diǎn) ),/,/( arbdP穩(wěn)定性分析 ??????????。 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。 )1()(22222 Nxxrtx ???? 兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比 。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競賽的潛力。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 問題分析 無窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。/00 1),(?vlvutlb eetuta u wtlq 21 )(),(),( ??????????? ??? ? vbutaaeawtutw39。福 州 大 學(xué) 1 第五章 微分方程模型 傳染病模型 經(jīng)濟(jì)增長模型 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 藥物在體內(nèi)的分布與排除 香煙過濾嘴的作用 人口預(yù)測和控制 煙霧的擴(kuò)散與消失 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) 福 州 大 學(xué) 2 動(dòng)態(tài)模型 ? 描述對(duì)象特征隨時(shí)間 (空間 )的演變過程 ? 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 ? 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài) ? 研究控制對(duì)象特征的手段 ? 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù) 微分方程建模 ? 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè) ? 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程 福 州 大 學(xué) 3 傳染病模型 問題 ? 描述傳染病的傳播過程 ? 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 ? 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻 ? 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型 福 州 大 學(xué) 4 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) ? 每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病 )人數(shù)為 ? 模型 1 假設(shè) ttititti ????? )()()( ?若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 建模 0)0( iiidtdi?? ?????? itteiti ?0)( ?? 福 州 大 學(xué) 5 sidtdi ??1)()( ?? tits模型 2 區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人和健康 人的 比例分別為 )(),( tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為 ?, 且 使接觸的健康人致病 建模 ttNitstittiN ????? )()]([)]()([ ?????????0)0()1(iiiidtdi?? ~ 日 接觸率 SI 模型 福 州 大 學(xué) 6 teiti?????????????1111)(0????????0)0()1(iiiidtdi?模型 2 1/2 tm i i0 1 0 t ???????? ?? ? 11ln01it m ?tm~傳染病高潮到來時(shí)刻 ? (日接觸率 )? ? tm? 1???? itLogistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 福 州 大 學(xué) 7 模型 3 傳染病無免疫性 ——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染 增加假設(shè) SIS 模型 3）病人每天治愈的比例為 ? ? ~日 治愈率 ttNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??建模 ??? /?? ~ 日接觸率 1/? ~感染期 ? ~ 一個(gè)感染期內(nèi) 每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為 接觸數(shù) 。03) 求 w(ut,t) 福 州 大 學(xué) 43 ???????????????vabutvbutvlvblaeeeeaa u wtlq 210),( ???????????????? vblavluleebavawdttlqQ 121 39。 建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時(shí)間與各因素的關(guān)系。 ~不透光區(qū)域邊界 福 州 大 學(xué) 58 tkQkttr???4ln4)( ???? ???ktyxektQ 4224? ??? ? ? adxe ax ?24）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律 ?? ??????? 1),( dztzyxCektzyxektQtzyxC 423222)4(),(?????很小）??? (??? ?????? 11ln1),( dztzyxCktyxektQdztzyxC 4224),(?????? ? ?222 ryx ??對(duì)任意 t, 不透光區(qū)域邊界是圓周 不透光區(qū)域邊界半徑 福 州 大 學(xué) 59 )(41最大值，eQrrekQttm ?????? ????0,42 ??? rkQtt ???r(t) rm 0 t1 t2 t tkQkttr???4ln4)( ?結(jié)果分析 112 tett ??? ?觀測到不透光區(qū)域邊界達(dá)到最大的時(shí)刻 t1，可以預(yù)報(bào)煙霧消失的時(shí)刻 t2 ?????? mrtQ , 1?? ??? tk福 州 大 學(xué) 60 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) 背景 航海業(yè)發(fā)展 天文觀測精確 “地心說”動(dòng)搖 哥白尼：“日心說” 伽里略：落體運(yùn)動(dòng) 開普勒：行星運(yùn)動(dòng)三定律 變速運(yùn)動(dòng)的計(jì)算方法 牛頓：一切運(yùn)動(dòng)有力學(xué)原因 牛頓運(yùn)動(dòng)三定律 牛頓：研究變速運(yùn)動(dòng)，發(fā)明微積分（流數(shù)法） 開普勒三定律 牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律 萬有引力定律 《 自然科學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理 》 (1687) 福 州 大 學(xué) 61 模型假設(shè) 極坐標(biāo)系 (r,?) 太陽 (0,0) 1. 行星軌道 )1(,co s1 2222eababpe pr ????? ?a~長半軸 , b~短半軸 , e~離心率 Ar ?2/2??3. 行星運(yùn)行周期 T 32 aT ??rmf ???? ?行星位置：向徑 ))(),(()( ttrtr ?? O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?2. 單位時(shí)間 掃過面積為常數(shù) A r?m ~ 行星質(zhì)量 ? ~ 絕對(duì)常數(shù) 4. 行星運(yùn)行受力 f?福 州 大 學(xué) 62 模型建立 O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?向徑 的基向量 r?jiujiu r??????????? c o ss i ns i nc o s?????ru??u?rurr ?? ?rruuuu?????????????????????urrurrrururrrr??????????????????)2()( 2 ??????Ar ?2/2??324,2rrArA ???? ??? ?? 02 ?? ?? ???? rrrurrr ??????? )( 2????c o s1 epr?? 32 )(4,s i n2 pr rpArpAer ??? ??? ? ruprAr ????224??rmf ???? ?rrrrprmAf ???? ???0022,4rurr ?? ?福 州 大 學(xué) 63 模型建立 rrrrprmAf ???? ???0022,4萬有引力定律 02 rrk M mf ?? ??需證明 4A2/p =kM （與哪一顆行星無關(guān)） A~單位時(shí)間 掃過面積 r?32 aT ??abTA ??O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?kM??? /4 2(習(xí)題 ) ? ? / / 2 2 ? p A )1(,co s1 2222eababpe pr ????? ?福 州 大 學(xué) 64 第六章 穩(wěn)定性模型 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 軍備競賽 種群的相互競爭 種群的相互依存 種群的弱肉強(qiáng)食 福 州 大 學(xué) 65 穩(wěn)定性模型 ? 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢 ——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 平衡點(diǎn) klhglyklgkhx????????????00 ,2) 若 g=h=0, 則 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好鄰國通過裁軍可達(dá)到永久和平。 福 州 大 學(xué) 81 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 福 州 大 學(xué) 91 ??????????111111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從 Logistic規(guī)