【正文】 90()1990()2020( mxxrxxxxx ?????實際為 (百萬 ) )2020( ?x模型應(yīng)用 加入 2020 年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù) r = , xm = x(2020) = — 預(yù)報美國 2020年的人口 Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用 (如耐用消費品的售量 ) 59 數(shù)學(xué)建模的基本方法 機理分析 測試分析 根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識， 找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律 將對象看作“黑箱”，通過對量測數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。 二者結(jié)合 用機理分析建立模型結(jié)構(gòu)， 用測試分析確定模型參數(shù) 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 60 ? 足夠的精度 ，即要求把本質(zhì)的關(guān)系和規(guī)律反映進(jìn)去，把非本質(zhì)的東西去掉。 ? 依據(jù)要充分 ，即要依據(jù)科學(xué)規(guī)律、經(jīng)濟規(guī)律等來建立公式和圖表。 ? 模型所表示的系統(tǒng)要能操縱和控制，便于檢驗和修改 。 簡明性原則： 所給出的假設(shè)條件要簡單、準(zhǔn)確，有利于構(gòu)造模型。 全面性原則： 在對事物原型本身作出假設(shè)的同時，還要給出原型所處的環(huán)境條件。 ? 進(jìn)一步對上述建模的一般步驟分析，可以將數(shù)學(xué)建模的全過程分為 表述、求解、解釋、驗證 四個階段，并且通過這些階段完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實對象的循環(huán)，如下圖所示。 ? 在統(tǒng)計分析中，則采用主成分分析法、向后回歸法（淘汰法）和逐步回歸方法，以減少變量個數(shù)，或在建模前，采用正交試驗方法，在眾多因素（變量）中找出對指標(biāo)有顯著影響的少量因素，再進(jìn)行優(yōu)選試驗，進(jìn)而建立模型。 常用簡化模型的方法 69 ? 改變變量的性質(zhì) ? 常用的方法是，將某些非主要的或暫時的變量看作常量，將連續(xù)變量看作離散變量，或把離散變量看作連續(xù)變量。也可以采用二次函數(shù)或其他研究比較透徹的函數(shù)逼近，而使模型簡化。 70 ? 改變約束關(guān)系 ? 如增加一些約束，或去掉一些約束，對約束進(jìn)行一些修改等。雖然它們都不是問題的真正的解，但可以通過它們了解真正解的范圍，這對問題進(jìn)行初步評價是有用的。 71 ? 模型結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，需要在對問題透徹理解和想像的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)視角的轉(zhuǎn)換，即從不同的角度觀察問題，進(jìn)而采用不同的數(shù)學(xué)工具來描述同一問題。當(dāng)根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對回歸法模型的參數(shù)或時序模型的參數(shù)進(jìn)行估計時，系統(tǒng)可辨識性問題也就同時提出來了。 72 數(shù)學(xué)模型的特點和分類 模型的逼真性和可行性 費用與效率的折衷 模型的合理性與漸進(jìn)性 推陳出新 模型的強健性（穩(wěn)定性） 微小改變無大變化 模型的可轉(zhuǎn)移性 轉(zhuǎn)移到其他領(lǐng)域 模型的非預(yù)制性 Openend problem 模型的條理性 分析更全面、深入 模型的技藝性 技術(shù)與藝術(shù) 模型的局限性 近似的通用性與精確性 數(shù)學(xué)模型的特點 73 數(shù)學(xué)模型的分類 應(yīng)用領(lǐng)域 人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、 … 數(shù)學(xué)方法 初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、 … 表現(xiàn)特性 描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策、 … 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 確定和隨機 靜態(tài)和動態(tài) 線性和非線性 離散和連續(xù) 74 白箱模型 其內(nèi)在機理相當(dāng)清楚的學(xué)科問題， 包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等。 灰箱模型 其內(nèi)在機理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題， 包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通、化工、地質(zhì)等。 黑箱模型 其內(nèi)在機理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象， 如生理、醫(yī)學(xué)、生命科學(xué)、社會科學(xué)等。 75 模型的分類在本課程中沒什么重要意義，因為對一個現(xiàn)實問題而言，數(shù)學(xué)建模沒有確定的模式，它與問題的性質(zhì)、建模目的、建模者自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)有關(guān)，甚至還與建模者的靈性有關(guān)。有一天此人提前半小時下班，乘火車 5:00 到達(dá) T 市，然后步行回家。問此人一共步行了多少時間？ 該問題涉及兩個人，由于問題的敘述和提問都是站在“某人”的角度，而“某人”到達(dá) T 市的時刻在變化，因此，順著問題正面敘述的角度看，條件不足。這就是“妻子”，而“妻子”每天從家到火車站的時刻表是不變的，這就找到了一個“參照系”，轉(zhuǎn)而站在“妻子”的角度觀察問題。 80 例 2 某人第一天上午 8:00由 A 處出發(fā)，于下午 6:00到達(dá) B 處，第二天上午 8:00他又由 B 處出發(fā)仍沿原路返回，并于下午 6:00回到 A 處。 將問題設(shè)想成甲、乙兩人在同一天分別從 A、 B 兩地相向而行，兩人必在途中某處相遇，則結(jié)論的正確性就十分明顯了。試盡可能迅速地回答下面的問題： (1) 某甲早上 8:00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午 5:00到達(dá)山頂并留宿。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點。問共需進(jìn)行多少輪比賽？如果是 n 支球隊比賽呢？ (3) 甲、乙兩站之間有電車相通，每隔 10分鐘甲、乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時刻不一定相同。問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時刻表是如何安排的。一小狗以 6 km/h 的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。 試設(shè)計一個安全渡河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少。 如向量 (1, 0, 1, 0) 表示人和雞在此岸，狗和米在彼岸。 凡系統(tǒng)可以允許存在的狀態(tài)稱為可取狀態(tài)。 85 將船的依次運算也用向量表示： 當(dāng)一物在船上時，相應(yīng)分量記為 1，否則記為 0。 這些向量稱為 運算向量 或 決策向量 。在加法運算中，對每一分量采用二進(jìn)制。 86 根據(jù)上述假設(shè)，人、狗、雞、米過河問題轉(zhuǎn)化為：從狀態(tài) (1, 1, 1, 1) 經(jīng)過奇數(shù)次運算變?yōu)闋顟B(tài) (0, 0, 0, 0) 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移過程。當(dāng)所有的轉(zhuǎn)移過程都出現(xiàn)循環(huán)時，則問題無解。 另外，人、狗、雞、米問題還可以用圖論的方法求解。 ( 1 , 1 , 1 , 1 )( 1 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 0 )( 1 , 0 , 1 , 1 )( 1 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 0 )( 0 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 1 )( 0 , 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 , 1 )89 問題變?yōu)樵趫D G 中找一條從頂點 (1, 1, 1, 1) 到 (0, 0, 0, 0) 的路徑，每條路徑就是一個解。 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 0 )( 1 , 0 , 1 , 1 )( 1 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 0 )( 0 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 1 )( 0 , 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 1 )( 1 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 0 )( 1 , 0 , 1 , 1 )( 1 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 0 )( 0 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 1 )( 0 , 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 , 1 )90 O x y A B C D ?f(?) 表示 A39。與地面距離之和 g(?) 表示 C39。與地面距離之和 則由三點著地，有 A39。 ???????00)()( gf0)(,0)(, ??? ???? fg0)0(,0)0(,0 ??? fg?A B C D ,0)0()0()0( ),()()( ??? gfhgfh 則???? ,0)()()( ?? ??? gfh而