【正文】 ??? NNP2121211)1)(1(???????rr2122111)1()1(???????? rr福 州 大 學 93 平衡點 P2穩(wěn)定性的相軌線 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP),(1)( 2111221111111 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ???? ),(1)(212222112222 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ?????.0,0:。 ? 模型的歷史背景 ——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降 (食用魚和鯊魚同時捕撈 )，但是其中 鯊魚的比例卻增加，為什么？ 福 州 大 學 96 食餌（甲）數(shù)量 x(t), 捕食者（乙）數(shù)量 y(t) 甲獨立生存的增長率 r rxx ??乙使甲的增長率減小，減小量與 y成正比 xayrtx )()( ???乙獨立生存的死亡率 d dyy ???甲使乙的死亡率減小，減小量與 x成正比 ybxdty )()( ????方程 (1),(2) 無解析解 食餌 捕食者模型 (Volterra) a ~捕食者掠取食餌能力 b ~食餌供養(yǎng)捕食者能力 )1(ax yrx ??)2(bx ydy ???福 州 大 學 97 Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性 a x yrxxayrtx ???? )()(?b x ydyybxdty ?????? )()(?平衡點 ),/,/( arbdP穩(wěn)定性分析 ??????????。0,0:。 甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙小于甲?乙的競爭力弱 ? P1穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競爭力強 甲達到最大容量，乙滅絕 ? P2穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ? P3穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩(wěn)定條件不滿足 福 州 大 學 90 種群的相互依存 甲乙兩 種群的相互依存有三種形式 1) 甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。 )1()(22222 Nxxrtx ???? 兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比 。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 福 州 大 學 80 種群的相互競爭 ? 一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間的關系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟實力的制約； k, l ~ 對方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競賽的潛力。 背景 福 州 大 學 67 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設 ? 無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長率 , N~最大魚量 h(x)=Ex, E~捕撈強度 x(t) ~ 漁場魚量 福 州 大 學 68 一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點 000 xxx xx ?????設 x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(lim 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 ——直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對不穩(wěn)定xxF ???福 州 大 學 69 0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場干枯 E~捕撈強度 r~固有增長率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx福 州 大 學 70 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標 x0~平衡點 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標 h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點 P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場魚量為最大魚量的一半 福 州 大 學 71 cErEp N EESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設 ? 魚銷售價格 p ? 單位捕撈強度費用 c 單位時間利潤 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場魚量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 福 州 大 學 72 Es S(E) T(E) 0 r E 捕撈過度 ? 封閉式捕撈 追求利潤 R(E)最大 ? 開放式捕撈 只求利潤 R(E) 0 cErEp N EESETER ????? )1()()()(R(E)=0時的捕撈強度 (臨界強度 ) Es=2ER )1( rENx ss ?? pc?臨界強度下的漁場魚量 ?? cp ,捕撈過度 ER )1(2 pNcrE R ??E* 令=0 )1(pNcrEs ???? ss xE ,福 州 大 學 73 軍備競賽 ? 描述雙方 (國家或國家集團 )軍備競賽過程 ? 解釋 (預測 )雙方軍備競賽的結局 假設 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟實力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大； 3）由于相互敵視或領土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 問題分析 無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。vlbe 2)(21?????????? ????? vblavl eebavawQ 12 39。/00 1),(?vlvutlb eetuta u wtlq 21 )(),(),( ??????????? ??? ? vbutaaeawtutw39。 問題 香煙過濾嘴的作用 福 州 大 學 39 模型假設 定性分析 ??????? QvaMl , 2? ?, 1 ???? Qlb ????? Qu1） l1~煙草長， l2~過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量 M均勻分布，密度 w0=M/l1 2）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是 a180。福 州 大 學 1 第五章 微分方程模型 傳染病模型 經(jīng)濟增長模型 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 藥物在體內(nèi)的分布與排除 香煙過濾嘴的作用 人口預測和控制 煙霧的擴散與消失 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) 福 州 大 學 2 動態(tài)模型 ? 描述對象特征隨時間 (空間 )的演變過程 ? 分析對象特征的變化規(guī)律 ? 預報對象特征的未來性態(tài) ? 研究控制對象特征的手段 ? 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù) 微分方程建模 ? 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設 ? 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程 福 州 大 學 3 傳染病模型 問題 ? 描述傳染病的傳播過程 ? 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 ? 預報傳染病高潮到來的時刻 ? 預防傳染病蔓延的手段 ? 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型 福 州 大 學 4 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) ? 每個病人每天有效接觸(足以使人致病 )人數(shù)為 ? 模型 1 假設 ttititti ????? )()()( ?若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 建模 0)0( iiidtdi?? ?????? itteiti ?0)( ?? 福 州 大 學 5 sidtdi ??1)()( ?? tits模型 2 區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 假設 1）總人數(shù) N不變，病人和健康 人的 比例分別為 )(),( tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為 ?, 且 使接觸的健康人致病 建模 ttNitstittiN ????? )()]([)]()([ ?????????0)0()1(iiiidtdi?? ~ 日 接觸率 SI 模型 福 州 大 學 6 teiti?????????????1111)(0????????0)0()1(iiiidtdi?模型 2 1/2 tm i i0 1 0 t ???????? ?? ? 11ln01it m ?tm~傳染病高潮到來時刻 ? (日接觸率 )? ? tm? 1???? itLogistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 福 州 大 學 7 模型 3 傳染病無免疫性 ——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染 增加假設 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例為 ? ? ~日 治愈率 ttNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??建模 ??? /?? ~ 日接觸率 1/? ~感染期 ? ~ 一個感染期內(nèi) 每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為 接觸數(shù) 。 ? 設想一個“機器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。03) 求 w(ut,t) 福 州 大 學 43 ???????????????vabutvbutvlvblaeeeeaa u wtlq 210),( ???????????????? vblavluleebavawdttlqQ 121 39。02 139。 建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關系。 2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。 ~不透光區(qū)域邊界 福 州 大 學 58 tkQkttr???4ln4)( ???? ???ktyxektQ 4224? ??? ? ? adxe ax