【正文】 ??? NNP2121211)1)(1(???????rr2122111)1()1(???????? rr福 州 大 學(xué) 93 平衡點(diǎn) P2穩(wěn)定性的相軌線 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP),(1)( 2111221111111 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ???? ),(1)(212222112222 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ?????.0,0:。 ? 模型的歷史背景 ——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降 (食用魚(yú)和鯊魚(yú)同時(shí)捕撈 )，但是其中 鯊魚(yú)的比例卻增加，為什么？ 福 州 大 學(xué) 96 食餌（甲）數(shù)量 x(t), 捕食者（乙）數(shù)量 y(t) 甲獨(dú)立生存的增長(zhǎng)率 r rxx ??乙使甲的增長(zhǎng)率減小，減小量與 y成正比 xayrtx )()( ???乙獨(dú)立生存的死亡率 d dyy ???甲使乙的死亡率減小，減小量與 x成正比 ybxdty )()( ????方程 (1),(2) 無(wú)解析解 食餌 捕食者模型 (Volterra) a ~捕食者掠取食餌能力 b ~食餌供養(yǎng)捕食者能力 )1(ax yrx ??)2(bx ydy ???福 州 大 學(xué) 97 Volterra模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 a x yrxxayrtx ???? )()(?b x ydyybxdty ?????? )()(?平衡點(diǎn) ),/,/( arbdP穩(wěn)定性分析 ??????????。0,0:。 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 11 ??對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙小于甲?乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱 ? P1穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng) 甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 ? P2穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ? P3穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩(wěn)定條件不滿足 福 州 大 學(xué) 90 種群的相互依存 甲乙兩 種群的相互依存有三種形式 1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 )1()(22222 Nxxrtx ???? 兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比 。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 福 州 大 學(xué) 80 種群的相互競(jìng)爭(zhēng) ? 一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 背景 福 州 大 學(xué) 67 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設(shè) ? 無(wú)捕撈時(shí)魚(yú)的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比 建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長(zhǎng)率 , N~最大魚(yú)量 h(x)=Ex, E~捕撈強(qiáng)度 x(t) ~ 漁場(chǎng)魚(yú)量 福 州 大 學(xué) 68 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點(diǎn) 000 xxx xx ?????設(shè) x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(lim 0xtxt ??? 稱(chēng) x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 ——直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對(duì)穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對(duì)不穩(wěn)定xxF ???福 州 大 學(xué) 69 0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場(chǎng)干枯 E~捕撈強(qiáng)度 r~固有增長(zhǎng)率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx福 州 大 學(xué) 70 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標(biāo) x0~平衡點(diǎn) 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標(biāo) h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點(diǎn) P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場(chǎng)魚(yú)量為最大魚(yú)量的一半 福 州 大 學(xué) 71 cErEp N EESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設(shè) ? 魚(yú)銷(xiāo)售價(jià)格 p ? 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用 c 單位時(shí)間利潤(rùn) 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點(diǎn) 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場(chǎng)魚(yú)量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 福 州 大 學(xué) 72 Es S(E) T(E) 0 r E 捕撈過(guò)度 ? 封閉式捕撈 追求利潤(rùn) R(E)最大 ? 開(kāi)放式捕撈 只求利潤(rùn) R(E) 0 cErEp N EESETER ????? )1()()()(R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度 (臨界強(qiáng)度 ) Es=2ER )1( rENx ss ?? pc?臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚(yú)量 ?? cp ,捕撈過(guò)度 ER )1(2 pNcrE R ??E* 令=0 )1(pNcrEs ???? ss xE ,福 州 大 學(xué) 73 軍備競(jìng)賽 ? 描述雙方 (國(guó)家或國(guó)家集團(tuán) )軍備競(jìng)賽過(guò)程 ? 解釋 (預(yù)測(cè) )雙方軍備競(jìng)賽的結(jié)局 假設(shè) 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對(duì)自己軍備增長(zhǎng)的制約越大； 3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端，每一方都存在增加軍備的潛力。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 3）穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 問(wèn)題分析 無(wú)窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過(guò)程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。vlbe 2)(21?????????? ????? vblavl eebavawQ 12 39。/00 1),(?vlvutlb eetuta u wtlq 21 )(),(),( ??????????? ??? ? vbutaaeawtutw39。 問(wèn)題 香煙過(guò)濾嘴的作用 福 州 大 學(xué) 39 模型假設(shè) 定性分析 ??????? QvaMl , 2? ?, 1 ???? Qlb ????? Qu1） l1~煙草長(zhǎng)， l2~過(guò)濾嘴長(zhǎng)， l = l1+ l2， 毒物量 M均勻分布，密度 w0=M/l1 2）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是 a180。福 州 大 學(xué) 1 第五章 微分方程模型 傳染病模型 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 藥物在體內(nèi)的分布與排除 香煙過(guò)濾嘴的作用 人口預(yù)測(cè)和控制 煙霧的擴(kuò)散與消失 萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn) 福 州 大 學(xué) 2 動(dòng)態(tài)模型 ? 描述對(duì)象特征隨時(shí)間 (空間 )的演變過(guò)程 ? 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 ? 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài) ? 研究控制對(duì)象特征的手段 ? 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù) 微分方程建模 ? 根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè) ? 按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程 福 州 大 學(xué) 3 傳染病模型 問(wèn)題 ? 描述傳染病的傳播過(guò)程 ? 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 ? 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻 ? 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? 按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型 福 州 大 學(xué) 4 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) ? 每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病 )人數(shù)為 ? 模型 1 假設(shè) ttititti ????? )()()( ?若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 建模 0)0( iiidtdi?? ?????? itteiti ?0)( ?? 福 州 大 學(xué) 5 sidtdi ??1)()( ?? tits模型 2 區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人和健康 人的 比例分別為 )(),( tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為 ?, 且 使接觸的健康人致病 建模 ttNitstittiN ????? )()]([)]()([ ?????????0)0()1(iiiidtdi?? ~ 日 接觸率 SI 模型 福 州 大 學(xué) 6 teiti?????????????1111)(0????????0)0()1(iiiidtdi?模型 2 1/2 tm i i0 1 0 t ???????? ?? ? 11ln01it m ?tm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻 ? (日接觸率 )? ? tm? 1???? itLogistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 福 州 大 學(xué) 7 模型 3 傳染病無(wú)免疫性 ——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染 增加假設(shè) SIS 模型 3）病人每天治愈的比例為 ? ? ~日 治愈率 ttNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??建模 ??? /?? ~ 日接觸率 1/? ~感染期 ? ~ 一個(gè)感染期內(nèi) 每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為 接觸數(shù) 。 ? 設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。03) 求 w(ut,t) 福 州 大 學(xué) 43 ???????????????vabutvbutvlvblaeeeeaa u wtlq 210),( ???????????????? vblavluleebavawdttlqQ 121 39。02 139。 建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過(guò)程，分析消失時(shí)間與各因素的關(guān)系。 2）光線穿過(guò)煙霧時(shí)光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比；無(wú)煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。 ~不透光區(qū)域邊界 福 州 大 學(xué) 58 tkQkttr???4ln4)( ???? ???ktyxektQ 4224? ??? ? ? adxe ax