【正文】 ?24）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律 ?? ??????? 1),( dztzyxCektzyxektQtzyxC 423222)4(),(?????很小）??? (??? ?????? 11ln1),( dztzyxCktyxektQdztzyxC 4224),(?????? ? ?222 ryx ??對任意 t, 不透光區(qū)域邊界是圓周 不透光區(qū)域邊界半徑 福 州 大 學(xué) 59 )(41最大值，eQrrekQttm ?????? ????0,42 ??? rkQtt ???r(t) rm 0 t1 t2 t tkQkttr???4ln4)( ?結(jié)果分析 112 tett ??? ?觀測到不透光區(qū)域邊界達(dá)到最大的時刻 t1，可以預(yù)報煙霧消失的時刻 t2 ?????? mrtQ , 1?? ??? tk福 州 大 學(xué) 60 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) 背景 航海業(yè)發(fā)展 天文觀測精確 “地心說”動搖 哥白尼：“日心說” 伽里略：落體運動 開普勒：行星運動三定律 變速運動的計算方法 牛頓：一切運動有力學(xué)原因 牛頓運動三定律 牛頓：研究變速運動，發(fā)明微積分（流數(shù)法） 開普勒三定律 牛頓運動第二定律 萬有引力定律 《 自然科學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理 》 (1687) 福 州 大 學(xué) 61 模型假設(shè) 極坐標(biāo)系 (r,?) 太陽 (0,0) 1. 行星軌道 )1(,co s1 2222eababpe pr ????? ?a~長半軸 , b~短半軸 , e~離心率 Ar ?2/2??3. 行星運行周期 T 32 aT ??rmf ???? ?行星位置：向徑 ))(),(()( ttrtr ?? O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?2. 單位時間 掃過面積為常數(shù) A r?m ~ 行星質(zhì)量 ? ~ 絕對常數(shù) 4. 行星運行受力 f?福 州 大 學(xué) 62 模型建立 O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?向徑 的基向量 r?jiujiu r??????????? c o ss i ns i nc o s?????ru??u?rurr ?? ?rruuuu?????????????????????urrurrrururrrr??????????????????)2()( 2 ??????Ar ?2/2??324,2rrArA ???? ??? ?? 02 ?? ?? ???? rrrurrr ??????? )( 2????c o s1 epr?? 32 )(4,s i n2 pr rpArpAer ??? ??? ? ruprAr ????224??rmf ???? ?rrrrprmAf ???? ???0022,4rurr ?? ?福 州 大 學(xué) 63 模型建立 rrrrprmAf ???? ???0022,4萬有引力定律 02 rrk M mf ?? ??需證明 4A2/p =kM （與哪一顆行星無關(guān)） A~單位時間 掃過面積 r?32 aT ??abTA ??O (太陽 ) ? P (行星 ) r r?kM??? /4 2(習(xí)題 ) ? ? / / 2 2 ? p A )1(,co s1 2222eababpe pr ????? ?福 州 大 學(xué) 64 第六章 穩(wěn)定性模型 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 軍備競賽 種群的相互競爭 種群的相互依存 種群的弱肉強食 福 州 大 學(xué) 65 穩(wěn)定性模型 ? 對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢 ——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 ? 如果使捕撈量等于自然增長量， 漁場魚量將保持不變 ，則捕撈量穩(wěn)定。 平衡點 klhglyklgkhx????????????00 ,2) 若 g=h=0, 則 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好鄰國通過裁軍可達(dá)到永久和平。 0?k 0?g模型的定性解釋 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實力的制約； k, l ~ 對方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競賽的潛力。 福 州 大 學(xué) 81 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙大于甲 乙的競爭力強 模型 221 Nx??福 州 大 學(xué) 82 模型分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??的趨向時 )(),( 21 txtxt ?? (平衡點及其穩(wěn)定性 ) (二階 )非線性(自治 )方程 ),()( ),()(212211xxgtxxxftx???? 的平衡點及其穩(wěn)定性 平衡點 P0(x10, x20) ~ 代數(shù)方程 0),(0),(2121??xxgxxf 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m011 xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點 ,)(l i m 022 xtxt ???模型 福 州 大 學(xué) 83 判斷 P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 ——直接法 (1)的近似線性方程 )1(),()(),()(212211xxgtxxxftx????)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx??????????02121PxxxxggffA ???????????????????AqgfpqpPxxd e t)(00212??平衡點 P0穩(wěn)定 (對 2,1) p 0 且 q 0 平衡點 P0不穩(wěn)定 (對 2,1) p 0 或 q 0 福 州 大 學(xué) 84 ),0(),0,( 2211 NPNP平衡點：???????????????????????????????01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??僅當(dāng) ?1, ?2 1或 ?1, ?2 1時， P3才有意義 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 PNNP??????????????????福 州 大 學(xué) 85 ????????????????????????????????????????????2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx????平衡點穩(wěn)定性分析 4,3,2,1,d et,)( 21 ????? iAqgfpipipxx?????????????????????????????2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf??平衡點 Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0 福 州 大 學(xué) 86 種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 平 衡點 )0,( 11 Np )1( 221 ??? rrp q)1( 221 ??? rr),0( 22 Np 211 )1( rr ??? ? )1( 121 ??? rr????????????212221113 1)1(,1)1(?????? NNp2121211)1)(1(???????rr)0,0(4p )( 21 rr ?? 21rr2122111)1()1(???????? rr?21, ?11, P1, P2 是一個種群存活而另一滅絕的平衡點 P3 是兩種群共存的平衡點 ?11, ?21 P1穩(wěn)定的條件 ?11 ? ?11 ?21 穩(wěn)定條件 福 州 大 學(xué) 87 221122122111211),(1),(NxNxxxNxNxxx??????????12 /?N21 /?N 1N2N1P?1x2x0 0??0??S1 S2 S3 平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??0,0:1 ?? ??S從任意點出發(fā) (t=0)的相軌線都趨向 P1(N1,0) (t??) P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點 0,0: 212 ?? xxS ??0,0: 211 ?? xxS ??(1) ?21, ?11 t ? ? x1, x2 ? 0,0: 213 ?? xxS ??t ? ? x1 ?, x2? t ? ? x1, x2? 福 州 大 學(xué) 88 P1 P2 有相軌線趨向 P1 有相軌線趨向 P2 P1穩(wěn)定的條件：直接法 ?21 P1, P2都不(局部 )穩(wěn)定 1x2x12 /?N21 /?N1N2N0 ?3P0??0??(3) ?11, ?21 12 /?N21 /?N1N2N ? 2P1x2x0 0??0??(2) ?11, ?21 1x2x12 /?N21 /?N 1N2N0 ? 3P0??0??(4) ?11, ?21 加上與 (4)相區(qū)別的 ?11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定 P1全局穩(wěn)定 福 州 大 學(xué) 89 結(jié)果解釋 對于消耗甲的資源而言，乙 (相對于 N2)是甲 (相對于 N1)的 ?1 倍。 福 州 大 學(xué) 91 ??????????111111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從 Logistic規(guī)律 。0,0: