【正文】 0元的保險(xiǎn)單 。 在這種情況下 ， 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者希望使不確定性降到最低限度 。 那么 ， 一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者 （ risk evader）將如何選擇 K的大小 ？ 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的主要特征：在相同的期望值或預(yù)期收益下 ， 風(fēng)險(xiǎn)越小 ， 效用水平越高 。 ? ??KrK ??東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 這樣的簡(jiǎn)單化假設(shè)并不太離奇 ， 世界上規(guī)模大 ， 經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)廣 ， 跨地區(qū)多的保險(xiǎn)公司所提供的保險(xiǎn)費(fèi)率都十分接近 “ 公平 ” 費(fèi)率 ， 因?yàn)榇蠊靖菀鬃龅椒稚L(fēng)險(xiǎn) ， 收取 “ 公平 ” 費(fèi)率就足以應(yīng)付賠償支出了 。 但無(wú)論那種狀態(tài)出現(xiàn) ， 保險(xiǎn)公司總能收入保險(xiǎn)費(fèi) rk， 假設(shè)沒(méi)有許多人 （ 如 10萬(wàn)人 ） 投保 ， 各人之間遭受損失是相互獨(dú)立的 ， 則保險(xiǎn)公司從每個(gè)投保人身上可得的預(yù)期利潤(rùn)： ?? ?? ? KrKrKKrK ??? ?=?+?? ).1(東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 即若投保人數(shù) n足夠大 ， 保險(xiǎn)公司的平均利潤(rùn)將接近 n 從保險(xiǎn)公司來(lái)看 ， 只要收支能平衡 ， 它就愿意經(jīng)營(yíng)這項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù) ， 且保險(xiǎn)市場(chǎng)上有許多家保險(xiǎn)公司 ， 且任何廠(chǎng)商均可自由進(jìn)出該行業(yè) ， 則保險(xiǎn)市場(chǎng)將接近完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng) ， 每家保險(xiǎn)公司的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)將被壓低到最低限度 零 。 損失不幸發(fā)生了 ， 為第 2種狀態(tài) ， 此時(shí) ， 您能從保險(xiǎn)公司得到金額為 K的賠償 ， 您擁有的財(cái)富為C2=WLrK+K 2狀態(tài)發(fā)生的概率為 ， 1狀態(tài)出現(xiàn)的概率為 1 。 假定您現(xiàn)在擁有的財(cái)產(chǎn)為 W， 您面臨損失 L的可能性 （ 如遭竊 、 失火 、 生病 、 住院等 ） ， 發(fā)生損失的可能性為 ,保險(xiǎn)費(fèi)率為 r， 即您需要支付 rk來(lái)購(gòu)買(mǎi)一張金額 （ 最高賠償額 ） 為 K的保險(xiǎn)單 。 且和 21 ?? 121 =+ ??)()( 211 cUcU ?? +東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 若消費(fèi)者一般的效用函數(shù)為 U= LnC 則 ， 預(yù)期效用函數(shù)為： EU= lLnC1+ 2LnC2 若 U=C， 則預(yù)期效用函數(shù)為： EU= 此時(shí) ， 預(yù)期效用等于期望值 。諾伊曼和經(jīng)濟(jì)學(xué)家?jiàn)W 預(yù)期效用函數(shù) EU稱(chēng)為 “ 馮 C1和 C2分別代表狀態(tài) 1和狀態(tài) 2下的收入或消費(fèi) ， 那么預(yù)期效用函數(shù)： EU= 。 （ 東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 預(yù)期效用：取決于各種情況出現(xiàn)的概率和相應(yīng)的概率下可享用的收入或消費(fèi)的效用 。 ” 勝過(guò) “ 60%的可能贏(yíng) 1萬(wàn)元 ，40%的可能性輸 100元 。 “ 公平 ” 的保險(xiǎn)費(fèi)率正好與損失發(fā)生的概率相等 。 那么 ，很少有人會(huì)拒絕這種賭博 。 ∴ 在世界各地 ，保險(xiǎn)公司與跑馬場(chǎng)一樣生意興隆 。 這就是在結(jié)果不確定的情況下經(jīng)濟(jì)人的最優(yōu)決策問(wèn)題 。 如 ， 農(nóng)場(chǎng)主的產(chǎn)量不僅取決于他投入多少資本 、 土地和勞動(dòng) ， 而且取決于今后一年中的氣候狀況 ， 這是農(nóng)場(chǎng)主無(wú)法把握的 。東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 第八章 金融數(shù)學(xué)模型 ? 保險(xiǎn)的需求模型 ? 資產(chǎn)組合選擇模型 ? 資本資產(chǎn)定價(jià)模型 ? 企業(yè)負(fù)債的合理確定模型 東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 以前總是假定消費(fèi)者或生產(chǎn)者的決策所產(chǎn)生的結(jié)果是肯定而唯一的 。 然而這一點(diǎn)假設(shè)是非常脫離實(shí)際的 。 在許多情況下 ， 經(jīng)濟(jì)決策人只能預(yù)見(jiàn)到自己的行為會(huì)帶來(lái)那幾種可能結(jié)果 ，以及每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性 。 保險(xiǎn)的需求模型 東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度：在現(xiàn)實(shí)中 ， 可以觀(guān)察到兩種現(xiàn)象：有些人為了減少未來(lái)收入和財(cái)富的不確定性而到保險(xiǎn)公司投保；而另一些人卻為了增加生活中的不確定性而進(jìn)行賭博 。 對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度 （ 風(fēng)險(xiǎn)偏好 ） ： 人的類(lèi)型 參加的賭博類(lèi)型 是否投保 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者 （ Risk evader） 只參加有利的賭博 投保 風(fēng)險(xiǎn)中立者 (Risk neutral) 可能參加公平的賭博 肯定參加有利的賭博 無(wú)所謂 風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者 (Risk lover) 即使不利的賭博也參加 不投保 東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 如 ， 這種賭博： 90%的可能贏(yíng) 1萬(wàn)元 ， 10%的可能輸 10元 ， 這種賭博的預(yù)期收益為： 1萬(wàn)元 90%+（ － 10元 ） 10%=8， 999元 遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于不參加賭博的預(yù)期收益：零 。 公平賭博：指預(yù)期收益為零或勝負(fù)各參半的賭博；如： 1萬(wàn)元 50%+（ 1萬(wàn)元 ） 50%=0（ 元 ） 有利 賭 博： 指預(yù)期收益大于零或贏(yíng)的可能性超過(guò)一半的賭博 。 東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 預(yù)期效用及其函數(shù)：人們對(duì)不確定情況下的收入或消費(fèi)也應(yīng)當(dāng)有一種偏好順序 ， 如 ，人們偏好 “ 90%的可能贏(yíng) 1萬(wàn)元 ， 10%的可能輸 1千元 。 ” 90% （ 1萬(wàn)元 ） +10% （ － 1000元 ）=8,900（ 元 ） 60% （ 1 萬(wàn)元 ） +40% （ － 100 元 ）=5,960（ 元 ） 那么 ， 如何來(lái)排列這種偏好順序呢 ？ 最方便的方法就是按 “ 預(yù)期效用 ” （ Expected Utility） 的大小來(lái)排序 。 如 ， 若未來(lái)可能出現(xiàn)兩種狀態(tài) ， 狀態(tài) 1和狀態(tài) 2， 兩種狀態(tài)出現(xiàn)的概率分別為 和即只有這兩種可能性 。 其中 U(C1)和 U(C2)為一般的效用函數(shù) 。諾伊曼 —摩根斯坦效用函數(shù) ” （ Von Neunaun——Menstern Utility Function） ， 以本世紀(jì)美國(guó)著名數(shù)學(xué)家馮 摩根斯坦名字命名的 ，他們兩人在數(shù)學(xué)博奕論領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn) 。 一般地若可能出現(xiàn) n種狀態(tài) ,每一種壯態(tài)出現(xiàn)的概率為 預(yù)期效用函數(shù)為： EU= 2211 cc ?? +? ?)2,1( nii ????=?EU= ?=1)(iii cU?n東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 保險(xiǎn)市場(chǎng)： 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者必定會(huì)參加保險(xiǎn)，但沒(méi)有說(shuō)明他會(huì)投保多少金額，假設(shè)他面臨損失 10,000元的風(fēng)險(xiǎn)，那么，他會(huì)向保險(xiǎn)公司投保 10,000元的金額，并繳納相應(yīng)的保險(xiǎn)費(fèi)，還是投保 15,000元 或 5,000元金額？這與保險(xiǎn)費(fèi)率的高低以及人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度有關(guān)。 損失沒(méi)有發(fā)生的情況為第 1種狀態(tài) ， 1狀態(tài)您擁有的財(cái)產(chǎn)為 C1 ??C1=WrK 東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 因?yàn)闊o(wú)論損失發(fā)生與否，保險(xiǎn)費(fèi)是不退回的。 從保險(xiǎn)公司的角度來(lái)考察 ， 二狀態(tài)出現(xiàn) ， 保險(xiǎn)公司需支付保險(xiǎn)費(fèi) K；一狀態(tài)出現(xiàn) ， 保險(xiǎn)公司沒(méi)有任何支出 。 即保險(xiǎn)公司由于激烈的競(jìng)爭(zhēng)會(huì)向顧客提供完全 “ 公平 ” 的保險(xiǎn)費(fèi)率 ， 即等于投保人總體遭受損失的概率 ， 即 r= , 從而利潤(rùn) p=0 。 甚至連賭場(chǎng)也是如此 ， 大賭場(chǎng)比小賭場(chǎng)更能提供 “ 公平 ” （ 預(yù)期收益接近于零 ） 的賭博機(jī)會(huì) 。 而投保人的期望財(cái)富值 EC為： 東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系 EC=(1 )C1+ C2= ? ? )())(1( KrKLWrKW +??+?? ??)( rKKLw ?+? ??= = W L（ ) 所以期望值是既定的 ， 與投保金額 K的大小無(wú)關(guān) 。 即沒(méi)有任何風(fēng)險(xiǎn)或不確定性 ， 這意味