【正文】 C13 學(xué)識(shí) 水平 C21 學(xué)術(shù) 創(chuàng)新 C22 技術(shù) 水平 C23 技術(shù) 創(chuàng)新 C24 效益 C1 水平 C2 規(guī)模 C3 科技成果評(píng)價(jià) 例 4 科技成果的綜合評(píng)價(jià) 福 州 大 學(xué) 21 三 . 層次分析法的若干問題 ? 正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？ ? 怎樣簡(jiǎn)化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？ ? 為什么用特征向量作為權(quán)向量？ ? 當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對(duì)比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法？ 福 州 大 學(xué) 22 1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì) 定理 1 正矩陣 A 的 最大特征根 ?是正單根，對(duì)應(yīng)正特征向量 w，且 TkTkkeweAe eA )1,1,1(,l i m ?????定理 2 n階 正互反陣 A的最大特征根 ? ? n , ?= n是 A為一致陣的充要條件。 ? 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。 福 州 大 學(xué) 16 二 . 層次分析法的廣泛應(yīng)用 ? 應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。 3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn) 對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過(guò)，則特征向量為權(quán)向量。 定義一致性比率 CR = CI/RI 當(dāng) CR，通過(guò)一致性檢驗(yàn) Saaty的結(jié)果如下 福 州 大 學(xué) 11 “ 選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn) ?????????????????1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的 成對(duì)比較陣 最大特征根 ?= 權(quán)向量 (特征向量 )w =(,)T ?? ??CI一致性指標(biāo) 隨機(jī)一致性指標(biāo) RI= (查表 ) 一致性比率 CR= 通過(guò)一致性檢驗(yàn) 福 州 大 學(xué) 12 組合權(quán)向量 記第 2層（準(zhǔn)則）對(duì)第 1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為 Tn ),()2()2(1)2( ??同樣求第 3層 (方案 )對(duì)第 2層每一元素 (準(zhǔn)則 )的權(quán)向量 ???????????12/15/1212/15211B方案層對(duì) C1(景色 )的成對(duì)比較陣 ???????????1383/1138/13/112B方案層對(duì) C2(費(fèi)用 )的成對(duì)比較陣 …C n …B n 最大特征根 ?1 ?2 … ?n 權(quán)向量 w1(3) w2(3) … wn(3) 福 州 大 學(xué) 13 第 3層對(duì)第 2層的計(jì)算結(jié)果 k )3(kwk?kCI1 0 0 2 3 3 4 3 5 組合權(quán)向量 RI= (n=3), CIk 均可通過(guò)一致性檢驗(yàn) w(2) 方案 P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為 ?+ …= 方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (, , )T 福 州 大 學(xué) 14 Tn ),()2()2(1)2( ??)2()3()3( wWw ?組合 權(quán)向量 第 1層 O 第 層 C1,…C n 第 3層 P1, …P m nk Tkmkk ,2,1,),( )3()3( 1)3( ?? ??第 2層對(duì)第 1層的權(quán)向量 第 3層對(duì)第 2層各元素的權(quán)向量 ],[ )3()3(1)3( nwwW ??構(gòu)造矩陣 則第 3層對(duì)第 1層的組合權(quán)向量 )2()3()1()()( wWWWw sss ???第 s層對(duì)第 1層的組合權(quán)向量 其中 W(p)是由第 p層對(duì)第p1層權(quán)向量組成的矩陣 福 州 大 學(xué) 15 層次分析法的基本步驟 1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型 深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo) —準(zhǔn)則或指標(biāo) —方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。 福 州 大 學(xué) 6 ?????????????????1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11Aijjiijnnij aaaaA1,0,)( ????層次分析法的基本步驟 成對(duì)比較陣和權(quán)向量 元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度 設(shè)要比較各準(zhǔn)則 C1,C2,… , C n對(duì)目標(biāo) O的重要性 ijji aCC ?:A~成對(duì)比較陣 A是正互反陣 要由 A確定 C1,… , C n對(duì) O的權(quán)向量 選擇旅游地 福 州 大 學(xué) 7 ???????????????????????nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA?????212221212111???????????????71242/11A成對(duì)比較的不一致情況 ):(2/1 2112 CCa ?):(4 3113 CCa ? ):(8 3223 CCa ?一致比較 不一致 允許不一致，但要確定不一致的允許范圍 考察完全一致的情況 nW ?,)1( 21??jiij wwa /?令權(quán)向量~),( 21 Tnw ??成對(duì)比較陣和權(quán)向量 福 州 大 學(xué) 8 wAw ?????????????????????????nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA?????212221212111成對(duì)比較完全一致的情況 nkjiaaa ikjkij ,2,1, ????滿足 的正互反陣 A稱 一致陣 ，如 ? A的秩為 1， A的唯一非零特征根為 n ? A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于 n 的特征向量 ? A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量 對(duì)于不一致 (但在允許范圍內(nèi) )的成對(duì)比較陣 A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根 ?的特征向量作為權(quán)向量 w ，即 一致陣性質(zhì) 成對(duì)比較陣和權(quán)向量 福 州 大 學(xué) 9 2 4 6 8 比較尺度 aij Saaty等人提出 1~9尺度 ——aij 取值1,2,… , 9 及其互反數(shù) 1,1/2, … , 1/9 尺度 1 3 5 7 9 ija相同 稍強(qiáng) 強(qiáng) 明顯強(qiáng) 絕對(duì)強(qiáng) 的重要性ji CC :ji CC :~aij = 1,1/2, ,…1/9 的重要性與上面相反 ? 心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò) 9個(gè) ? 用 1~3,1~5,…1~17,…,1 p~9p (p=2,3,4,5), d+~d+ (d=1,2,3,4)等 27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)， 1~9尺度較優(yōu)。 ? 將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。福 州 大 學(xué) 1 第八章 離散模型 層次分析模型 循環(huán)比賽的名次 社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過(guò)程 效益的合理分配 y 福 州 大 學(xué) 2 離散模型 ? 離散模型：差分方程（第 7章）、整數(shù)規(guī)劃（第 4章）、圖論、對(duì)策論、網(wǎng)絡(luò)流、 … … ? 分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具 ? 只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識(shí) 福 州 大 學(xué) 3 層次分析模型 背景 ? 日常工作、生活中的決策問題 ? 涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素 ? 作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化 ? Saaty于 1970年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) ? AHP——一種 定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化 的分析方法 福 州 大 學(xué) 4 目標(biāo)層 O(選擇旅游地 ) P2 黃山 P1 桂林 P3 北戴河 準(zhǔn)則層 方案層 C3 居住 C1 景色 C2 費(fèi)用 C4 飲食 C5 旅途 一 . 層次分析法的基本步驟 例 . 選擇旅游地 如何在 3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇 . 福 州 大 學(xué) 5 ―選擇旅游地 ” 思維過(guò)程的歸納 ? 將決策問題分為 3個(gè)層次：目標(biāo)層 O，準(zhǔn)則層 C，方案層 P；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。 ? 通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。 層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。 ? 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化： 成對(duì)比較陣和權(quán)向量 福 州 大 學(xué) 10 一致性檢驗(yàn) 對(duì) A確定不一致的允許范圍 已知： n 階一致陣的唯一非零特征根為 n 可證： n 階正互反陣最大特征根 ? ?n, 且 ? =n時(shí)為一致陣 1???nnCI ?定義一致性指標(biāo) : CI 越大，不一致越嚴(yán)重 RI 0 0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 為衡量 CI 的大小，引入 隨機(jī)一致性指標(biāo) RI——隨機(jī)模擬得到 aij , 形成 A，計(jì)算 CI 即得 RI。 2）構(gòu)造成對(duì)比較陣 用成對(duì)比較法和 1~9尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的成對(duì)比較陣。 4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn) *） 組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。 ? 處理問題類型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。 ? 構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。 正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。 和法 ——取列向量的算術(shù)平均 ???????????14/16/1412/1621A例??????????w??????????????????????Aw ) (31 ?????列向量歸一化 算術(shù)平均 wAw ??精確結(jié)果 :w=(,)T, ?= 福 州 大 學(xué) 24 根法 ——取列向量的幾何平均 冪法 ——迭代算法 1）任取初始向量 w(0), k:=0，設(shè)置精度 ? )()1(~ kk Aww ??2) 計(jì)算 ????? ?nikikk 1)1()1()1( ~/~3）歸一化 ????nikikiwwn 1 )()1(~1?5) 計(jì)算 簡(jiǎn)化計(jì)算 4）若 ，停止；否則， k:=k+1, 轉(zhuǎn) 2 ???? )()1(m a x kikii ww福 州 大 學(xué) 25 3. 特征向量作為權(quán)向量 ——成對(duì)比較的多步累積效應(yīng) 問題 一致陣 A, 權(quán)向量 w=(w1,…w n)T, aij=wi