【正文】 進一步假設(shè) 模型假設(shè) 福 州 大 學(xué) 94 )()1)(()()()( 1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn????????????? ????建模 為得到 Pn(t) P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察 Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n). 事件 X(t +?t)=n的分解 X(t)=n1, ?t內(nèi)出生一人 X(t)=n+1, ?t內(nèi)死亡一人 X(t)=n, ?t內(nèi)沒有出生和死亡 其它 (出生或死亡二人，出生且死亡一人， … …) 概率 Pn(t+?t) Pn1(t), bn1?t Pn+1(t), dn+1?t Pn(t), 1bn?t dn ?t o(?t) 福 州 大 學(xué) 95 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??)()()()( 1111 tPdbtPdtPbdtdP nnnnnnnn ???? ????~一組遞推微分方程 ——求解的困難和不必要 ??????00,0,1)0(nnnnP n (t=0時已知人口為 n0) 轉(zhuǎn)而考察 X(t)的期望和方差 bn=?n， dn=?n 微分方程 建模 福 州 大 學(xué) 96 ???????1)()()()(nn tEtnPdtdE ????)()()()1()()1(121111tPntPnntPnndtdEnnnnnn????????????????????? ????1)()(nn tnPtEX(t)的期望 求解 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??基本方程 ?????1)()1(kk tPkk?n1=k ????1nndtdPndtdEn+1=k )()1(1tPkkkk????? ?福 。死亡二人及二人以上的概率為 o(?t). 3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。 ?=l/?=10 z*= ?*= ?z*= m*= ?*?=(米 ) 求解 0 z z F(z) F(z) zzF ?? ?)( 0 10 5 F(z) z 福 州 大 學(xué) 92 隨機人口模型 背景 ? 一個人的出生和死亡是隨機事件 一個國家或地區(qū) 平均生育率平均死亡率 確定性模型 一個家族或村落 出生概率死亡概率 隨機性模型 對象 X(t) ~ 時刻 t 的人口 , 隨機變量 . Pn(t) ~概率 P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究 Pn(t)的變化規(guī)律；得到 X(t)的期望和方差 福 州 大 學(xué) 93 若 X(t)=n, 對 t到 t+?t的出生和死亡概率作以下假設(shè) 1)出生一人的概率與 ?t成正比，記 bn?t 。 m P P180。 否則，不訂貨。 福 州 大 學(xué) 73 模型建立 ? 定義 傳送帶效率 為一周期內(nèi)運走的產(chǎn)品數(shù)（記作 s,待定）與生產(chǎn)總數(shù) n（已知）之比，記作 D=s /n ? 若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率 p，則 s=mp 為確定 s，從 工人 考慮還是從 掛鉤 考慮，哪個方便？ 設(shè)每只掛鉤為空的概率為 q，則 p=1q 如何求概率 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為 r，則 q=rn 設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為 u，則 r=1u u=1/m p=1(11/m)n D=m[1(11/m)n]/n 一周期內(nèi)有 m個掛鉤通過每一工作臺的上方 福 州 大 學(xué) 74 模型解釋 若 (一周期運行的 )掛鉤數(shù) m遠大于工作臺數(shù) n, 則 )]2 )1(1(1[ 2mnnmnnmD ????? 傳送帶效率 (一周期內(nèi)運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比） ])11(1[ nmnmD ???定義 E=1D (一周期內(nèi)未運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比） 提高效率的途徑： ? 增加 m ? 習(xí)題 1 當 n遠大于 1時 , E ? n/2m ~ E與 n成正比，與 m成反比 若 n=10, m=40, D?% (%) mn211 ???福 州 大 學(xué) 75 報童的訣竅 問題 報童售報： a (零售價 ) b(購進價 ) c(退回價 ) 售出一份賺 ab；退回一份賠 bc 每天購進多少份可使收入最大？ 分析 購進太多 ?賣不完退回 ?賠錢 購進太少 ?不夠銷售 ?賺錢少 應(yīng)根據(jù)需求確定購進量 每天需求量是隨機的 優(yōu)化問題的目標函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入 每天收入是隨機的 存在一個合適的購進量 等于每天收入的期望 福 州 大 學(xué) 76 建模 ? 設(shè)每天購進 n 份， 日平均收入為 G(n) 調(diào)查需求量的隨機規(guī)律 ——每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 準備 ))(()(rncbrnrbarnr?????????賠退回賺售出nbannr )( ???? 賺售出? ????????????nr nrrnfbarfrncbrbanG0 1)()()()])(()[()(求 n 使 G(n) 最大 ? 已知售出一份賺 ab；退回一份賠 bc 福 州 大 學(xué) 77 ? ? ? ??????? n n drrnpbadrrprncbrbanG 0 )()()()])(()[()(?dndG求解 將 r視為連續(xù)變量 概率密度）()()( rprf ?0?dndGcbbadrrpdrrpnn??????)()(0? ? ?????? n n drrpbadrrpcb 0 )()()()(? ? ???? n drrpbannpba )()()()(? ??? n drrpcbnnpba 0 )()()()(福 州 大 學(xué) 78 cbbadrrpdrrpnn??????)()(0結(jié)果解釋 ?? ? ?? nn PdrrpPdrrp 20 1 )(,)(n P1 P2 cbbaPP???21取 n使 ab ~售出一份賺的錢 bc ~退回一份賠的錢 ???????? ncbnba )(,)(0 r p 福 州 大 學(xué) 79 隨機存貯策略 問題 以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。 ? 工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻不會一致，可以認為是隨機的，并且在一個周期內(nèi) 任一時刻的可能性相同 。 背景 在生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標，研究提高 傳送帶效率 的途徑 傳送系統(tǒng)的效率 福 州 大 學(xué) 71 問題分析 ? 進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的 生產(chǎn)周期相同 ，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。 A類：公正合理；需要信息多，計算復(fù)雜。問三人合作時如何分配獲利？ 福 州 大 學(xué) 60 （ 2）協(xié)商解 ?????????????00, ?AbAx TT1 1 ?????????????nniiibxxbxxBx?11將剩余獲利 平均分配 ??ixBnBbbnxBnxx iiiii ?????? ??1)(111),7,5,4(. ?? Bb例模型 以 n1方合作的獲利為下限 TT bxA ?求解 ? ??? iii bbnx 11 ~ xi 的下限 ,3),1,3,4( ??? ? ixBx)2,4,5()1,1,1( ??? xx福 州 大 學(xué) 61 （ 3） Nash解 ),( 1 nddd ??記 為現(xiàn)狀點（談判時的威懾點） iiiiiidxBxtsdxxma?????..)(ii xd ?在此基礎(chǔ)上“均勻地”分配全體合作的獲利 B 模型 0?id???? )(1 iii dBndx平均分配獲利 B 3） Nash解 ? 2）協(xié)商解 福 州 大 學(xué) 62 （ 4）最小距離解 的上限為記 xxxxn ),( 1 ??iiiiiixxBxtsxxnmi?????..)(2模型 第 i 方的邊際效益 ii bBx ??若令 nBbbnx iii ??? ?111),7,5,4(. ?? Bb例? ??? )(1 Bxnxx iii4）最小距離解 ? 2）協(xié)商解 ,6),4,6,7( ??? ? Bxx i)2,4,5()2,2,2( ??? xx福 州 大 學(xué) 63 （ 5）滿意解 iiiii dedxu???滿意度Bxtsunmixmaiii??..)(di~現(xiàn)狀點 (最低點 ) ei~理想點 (最高點 ) 模型 iiii xexd ?? ,5）基于滿意度的解 ? 2）協(xié)商解 iii xed ?? ,0)(iiiiiiiiideudxdedBu??????? ??的比例分配中在按 ??? iiiii xxBxxx ~福 州 大 學(xué) 64 （ 6） Raiffi 解 jj xbBnjj ??? 獲利為方合作時的原來無參與當 ,1)(jininxxxxx jiijj ?????? ,1,)1(2,2?:)1 的分配基礎(chǔ)上進行方合作獲利的分配（在 Bnx ?方再等分方平分，和先由 11 ?? nnjx j得到再平均取 ,2,1 nj ????????ijjiii xnxnxnnx ])1(212[11)4,6,7(),1,3,4( ?? xx與協(xié)商解 x=(5,4,2)比較 11),7,5,4(. ?? Bb例)1252,12113,324（?x福 州 大 學(xué) 65 求解合作對策的 6種方法（可分為三類） Shapley合作對策 A類 B類 !)!1()!()(nssnsw ???niisvsvswxiSsi ,2,1) ] ,\()()[( ???? ??)(),\( IvBiIvb i ??只需Issv ?),(需要所有協(xié)商解 )(1 ???? iii xBnxx下限~ixNash解 ???? )(1 iii dBndx現(xiàn)狀~id最小距離解 ? ??? )(1 Bxnxx iii上限~ix滿意解 )( iiiiiiiiideudxdedBu??????? ??di~現(xiàn)狀 , ei~理想 iiii xexd ?? ,ii bBx ??,1bAx ??B類 4種方法相同 福 州 大 學(xué) 66 例：有一資方 (甲 )和二勞方 (乙 ,丙 ), 僅當資方與至少一勞方合作時才獲利 10元，應(yīng)如何分配該獲利？ Raiffi解 C類 )(),\( IvBiIvb i ??只需方再等分方平分，和先由上限對每個 11, ?? nnjxj j10)(),10,10,0(),\(. ???? IvBbiIvbB i),().( ?xS h a p l e yA)0,0,10(, ??? xbBx ii)0,0,10(1 ?? ? TT bAx),(?x???