【正文】 ? 模型的歷史背景 ——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降 (食用魚和鯊魚同時(shí)捕撈 )，但是其中 鯊魚的比例卻增加，為什么？ 福 州 大 學(xué) 96 食餌（甲）數(shù)量 x(t), 捕食者（乙）數(shù)量 y(t) 甲獨(dú)立生存的增長(zhǎng)率 r rxx ??乙使甲的增長(zhǎng)率減小，減小量與 y成正比 xayrtx )()( ???乙獨(dú)立生存的死亡率 d dyy ???甲使乙的死亡率減小，減小量與 x成正比 ybxdty )()( ????方程 (1),(2) 無(wú)解析解 食餌 捕食者模型 (Volterra) a ~捕食者掠取食餌能力 b ~食餌供養(yǎng)捕食者能力 )1(ax yrx ??)2(bx ydy ???福 州 大 學(xué) 97 Volterra模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 a x yrxxayrtx ???? )()(?b x ydyybxdty ?????? )()(?平衡點(diǎn) ),/,/( arbdP穩(wěn)定性分析 ??????????。0,0:。 模型 乙為甲提供食物是甲消耗的 ?1 倍 221 Nx??甲為乙提供食物是乙消耗的 ?2 倍 ? ?1)( 222 ?? xrtx? ???????????112222 1)( Nxxrtx ?? ???????? ????22112222 1)( NxNxxrt ??福 州 大 學(xué) 92 種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn) 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 1,1 212 ?? ???1,1,12121???????平衡點(diǎn) p q)0,( 11 NP )1( 221 ?? ?rr )1( 221 ?? ?rr)0,0(3P21 rr ?? 21rr?????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP2121211)1)(1(???????rr2122111)1()1(???????? rr福 州 大 學(xué) 93 平衡點(diǎn) P2穩(wěn)定性的相軌線 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP),(1)( 2111221111111 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ???? ),(1)(212222112222 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ?????.0,0:。 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 11 ??對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙小于甲?乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱 ? P1穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng) 甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 ? P2穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ? P3穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩(wěn)定條件不滿足 福 州 大 學(xué) 90 種群的相互依存 甲乙兩 種群的相互依存有三種形式 1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 對(duì)于消耗甲的資源而言，乙 (相對(duì)于 N2)是甲(相對(duì)于 N1) 的 ?1 倍。 )1()(22222 Nxxrtx ???? 兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比 。 ? 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的過(guò)程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 福 州 大 學(xué) 80 種群的相互競(jìng)爭(zhēng) ? 一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。 0,0 ?? yx ??4）即使某時(shí)一方 (由于戰(zhàn)敗或協(xié)議 )軍備大減 , 如 x(t)=0， 也會(huì)因 使該方重整軍備， gkyx ??? 即存在互不信任 ( ) 或固有爭(zhēng)端 ( ) 的單方面裁軍不會(huì)持久。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l ~ 對(duì)方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競(jìng)賽的潛力。 t ? ?時(shí)的 x(t)， y(t) 福 州 大 學(xué) 75 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) P0(x0,y0)=(0,0) ~代數(shù)方程 00????dycxbyax 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(lim0xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) ,)(lim0ytyt ???記系數(shù)矩陣 ???????dcbaA 特征方程 0)d e t ( ?? IA ?????????????Aqdapqpd e t)(02 ?? 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????福 州 大 學(xué) 76 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????平衡點(diǎn) P0(0,0) 微分方程一般解形式 tt ecec 2121?? ?平衡點(diǎn) P0(0,0)穩(wěn)定 平衡點(diǎn) P0(0,0)不穩(wěn)定 ?1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 福 州 大 學(xué) 77 klAqp????????????????d e t0)(klhglyklgkhx????????????00 ,平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 ???????????lkA系數(shù)矩陣 平衡點(diǎn) (x0, y0)穩(wěn)定的條件 0,0 ?? qpkl?????????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 軍備競(jìng)賽 福 州 大 學(xué) 78 模型的定性解釋 kl???雙方軍備穩(wěn)定 (時(shí)間充分長(zhǎng)后趨向有限值 )的條件 1) 雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時(shí)，軍備競(jìng)賽 才會(huì)穩(wěn)定，否則軍備將無(wú)限擴(kuò)張。 背景 福 州 大 學(xué) 67 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設(shè) ? 無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長(zhǎng)率 , N~最大魚量 h(x)=Ex, E~捕撈強(qiáng)度 x(t) ~ 漁場(chǎng)魚量 福 州 大 學(xué) 68 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點(diǎn) 000 xxx xx ?????設(shè) x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(lim 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 ——直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對(duì)穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對(duì)不穩(wěn)定xxF ???福 州 大 學(xué) 69 0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場(chǎng)干枯 E~捕撈強(qiáng)度 r~固有增長(zhǎng)率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx福 州 大 學(xué) 70 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標(biāo) x0~平衡點(diǎn) 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標(biāo) h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點(diǎn) P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半 福 州 大 學(xué) 71 cErEp N EESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設(shè) ? 魚銷售價(jià)格 p ? 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用 c 單位時(shí)間利潤(rùn) 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點(diǎn) 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場(chǎng)魚量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 福 州 大 學(xué) 72 Es S(E) T(E) 0 r E 捕撈過(guò)度 ? 封閉式捕撈 追求利潤(rùn) R(E)最大 ? 開放式捕撈 只求利潤(rùn) R(E) 0 cErEp N EESETER ????? )1()()()(R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度 (臨界強(qiáng)度 ) Es=2ER )1( rENx ss ?? pc?臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚量 ?? cp ,捕撈過(guò)度 ER )1(2 pNcrE R ??E* 令=0 )1(pNcrEs ???? ss xE ,福 州 大 學(xué) 73 軍備競(jìng)賽 ? 描述雙方 (國(guó)家或國(guó)家集團(tuán) )軍備競(jìng)賽過(guò)程 ? 解釋 (預(yù)測(cè) )雙方軍備競(jìng)賽的結(jié)局 假設(shè) 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對(duì)自己軍備增長(zhǎng)的制約越大； 3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端，每一方都存在增加軍備的潛力。 問(wèn)題及 分析 ? 在 捕撈量穩(wěn)定 的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 R??C? ? 僅當(dāng) t??, 對(duì)任意點(diǎn) (x,y,z), C?0 1）煙霧濃度 的變化規(guī)律 ),( tzyxC福 州 大 學(xué) 56 00 )( IlI ?)()( lIlCdldI ???2）穿過(guò)煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律 光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比 方向的煙霧濃度沿方向的光強(qiáng)沿llCllI~)(~)(00 )( Ill 的光強(qiáng)為未進(jìn)入煙霧 ???? ll dssCeIlI 0 )(0)(?福 州 大 學(xué) 57 ?? ??????? 1),( dztzyxCe觀測(cè)結(jié)果為暗儀器靈敏度，當(dāng) ,1/~ 0 ?? ??II3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限 煙霧濃度連續(xù)變化 煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化 ??? ll dssCeIlI 0 )(0)(?儀器 z ? ? 設(shè)光源在 z=?, 儀器在 z=?,則觀測(cè)到的 明暗界限為 不透光區(qū)域有擴(kuò)大、縮小、消失的過(guò)程 穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 3）穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 福 州 大 學(xué) 53 gr a