【導(dǎo)讀】離散模型：差分方程（第7章）、論、網(wǎng)絡(luò)流、……分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具。只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）。日常工作、生活中的決策問題。涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素。作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)。Saaty于1970年代提出層次分析法。AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.用相連的直線表示。案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的。完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性。A的秩為1，A的唯一非零特征根為n. A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量。比較陣A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根?,9及其互反數(shù)1,1/2,…心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過9個(gè)。陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重。擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。

　　

【正文】 平均收入 每天收入是隨機(jī)的 存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量 等于每天收入的期望 福 州 大 學(xué) 76 建模 ? 設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份， 日平均收入為 G(n) 調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律 ——每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 準(zhǔn)備 ))(()(rncbrnrbarnr?????????賠退回賺售出nbannr )( ???? 賺售出? ????????????nr nrrnfbarfrncbrbanG0 1)()()()])(()[()(求 n 使 G(n) 最大 ? 已知售出一份賺 ab；退回一份賠 bc 福 州 大 學(xué) 77 ? ? ? ??????? n n drrnpbadrrprncbrbanG 0 )()()()])(()[()(?dndG求解 將 r視為連續(xù)變量 概率密度）()()( rprf ?0?dndGcbbadrrpdrrpnn??????)()(0? ? ?????? n n drrpbadrrpcb 0 )()()()(? ? ???? n drrpbannpba )()()()(? ??? n drrpcbnnpba 0 )()()()(福 州 大 學(xué) 78 cbbadrrpdrrpnn??????)()(0結(jié)果解釋 ?? ? ?? nn PdrrpPdrrp 20 1 )(,)(n P1 P2 cbbaPP???21取 n使 ab ~售出一份賺的錢 bc ~退回一份賠的錢 ???????? ncbnba )(,)(0 r p 福 州 大 學(xué) 79 隨機(jī)存貯策略 問題 以周為時(shí)間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫(kù)存決定是否訂貨，供下周銷售。 （ s, S) 存貯策略 制訂下界 s, 上界 S，當(dāng)周末庫(kù)存小于 s 時(shí)訂貨，使下周初的庫(kù)存達(dá)到 S。 否則，不訂貨。 考慮訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購(gòu)進(jìn)費(fèi)，制訂（ s, S) 存貯策略 ,使 (平均意義下 )總費(fèi)用最小 福 州 大 學(xué) 80 模型假設(shè) ? 每次訂貨費(fèi) c0, 每件商品購(gòu)進(jìn)價(jià) c1,每件商品一周貯存費(fèi) c2,每件商品缺貨損失費(fèi) c3 (c1c3) ? 每周銷售量 r 隨機(jī)、連續(xù)，概率密度 p(r) ? 周末庫(kù)存量 x, 訂貨量 u, 周初庫(kù)存量 x+u ? 每周貯存量按 x+ur 計(jì) 福 州 大 學(xué) 81 ?????????0)(0),()( 10uxLuuxLuccuJ? ? ? ???? x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(建模與求解 （ s, S) 存貯策略 0??? usx確定 (s, S), 使目標(biāo)函數(shù) ——每周總費(fèi)用的平均值最小 平均費(fèi)用 訂貨費(fèi) c0, 購(gòu)進(jìn)價(jià) c1, 貯存費(fèi) c2, 缺貨費(fèi) c3, 銷售量 r Suxusx ????? ,0s ~ 訂貨點(diǎn)， S ~ 訂貨值 福 州 大 學(xué) 82 12130)()(ccccdrrpdrrpSS??????? ?? ????? ux ux drrpcdrrpccdudJ 0 321 )()(建模與求解 1）設(shè) xs, 求 u 使 J(u) 最小，確定 S ? ? ????? S S drrpccdrrpcc 0 1321 )()()()(Sux ???? ?0 1)( drrp0?dudJ?????? ScSc 23 ,建模與求解 ? ? ? ???? x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(?????????0)(0),()( 10uxLuuxLuccuJS P1 P2 0 r p 21PP?福 州 大 學(xué) 83 2）對(duì)庫(kù)存 x，確定訂貨點(diǎn) s )()(101 SLxSccJ ????若訂貨 u, u+x=S, 總費(fèi)用為 )(2 xLJ ?若不訂貨 , u=0, 總費(fèi)用為 12 JJ ?)()(1 xIxLxc ??記)()( 0 SIcxI ??訂貨點(diǎn) s 是 的最小正根 建模與求解 ? ? ? ???? x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(?????????0)(0),()( 10uxLuuxLuccuJ)()()( 10 SLxSccxL ????不訂貨 )()(101 SLSccxLxc ????)(( 0 SIcxI ??福 州 大 學(xué) 84 )()( 0 SIcxI ?? 最小正根的 圖解法 J(u)在 u+x=S處達(dá)到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0 I(x)在 x=S處達(dá)到最小值 I(S) I(x)圖形 建模與求解 ? ? ? ???? x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(?????????0)(0),()( 10uxLuuxLuccuJ)()( 1 xLxcxI ??J(u)與 I(x)相似 I(S) )()( 0 SIcxI ?? 的最小正根 s 福 州 大 學(xué) 85 軋鋼中的浪費(fèi) 軋制鋼材兩道工序 ? 粗軋 (熱軋 ) ~ 形成鋼材的雛形 ? 精軋 (冷軋 ) ~ 得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度 粗軋 鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布 均值可以調(diào)整 方差由設(shè)備精度確定 粗軋鋼材長(zhǎng)度大于規(guī)定 切掉多余 部分 粗軋鋼材長(zhǎng)度小于規(guī)定 整根報(bào)廢 隨機(jī)因素影響 精軋 問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小 背景 福 州 大 學(xué) 86 分析 設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為 l， 粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為 ? 記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的鋼材長(zhǎng)度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作 x~N(m, ? 2) 切掉多余部分的概率 )( lxPP ??整根報(bào)廢的概率 )( lxPP ???????? PPm ,存在最佳的 m使總的浪費(fèi)最小 l P ????? PPm ,0 p(概率密度 ) m x P180。 m P P180。 福 州 大 學(xué) 87 ? ?? ????? l l dxxxpdxxplxW )()()(? ???? ??? l dxxlpdxxxp )()(建模 選擇合適的目標(biāo)函數(shù) 切掉多余部分的浪費(fèi) 整根報(bào)廢的浪費(fèi) 總浪費(fèi) = + lPm ??粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度 粗軋 N根 成品材 PN根 成品材長(zhǎng)度 l PN 總長(zhǎng)度 mN Nl P NmN ? lPm ??共浪費(fèi)長(zhǎng)度 mNlPN 福 州 大 學(xué) 88 lPmPN l P NmN ???)()(mPmmJ ?記222)(21)(,)()( ???mxlexpdxxpmP???? ??選擇合適的目標(biāo)函數(shù) 粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度 lPmNl P NmN ???得到一根成品材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度 更合適的目標(biāo)函數(shù) 優(yōu)化模型：求 m 使 J(m) 最?。ㄒ阎?l ,? ） 建模 粗軋 N根 得成品材 PN根 福 州 大 學(xué) 89 ,? mxy ?? ???? lm ?? ,)()( ????????J2221)()()(yzeydyyz????? ????)()(mPmmJ ?222)(21)()()(???mxlexpdxxpmP????? ??? ??z)()()(zzzJ??? ??)()( ????????J求解 求 z 使 J(z) 最小（已知 ? ） 福 州 大 學(xué) 90 求解 )()()(zzzJ??? ?? 0)()()( ?? ????? zzz ?)(/)( zzz ?? ???)()( zz ???? ?0?dzdJ2221)()()(yzeydyyz????? ????)(/)()()(zzzFzzF??????福 州 大 學(xué) 91 簡(jiǎn)表)()()( zzzF ???z??*z例 設(shè) l=2(米 ), ?=20(厘米 )，求 m 使浪費(fèi)最小。 ?=l/?=10 z*= ?*= ?z*= m*= ?*?=(米 ) 求解 0 z z F(z) F(z) zzF ?? ?)( 0 10 5 F(z) z 福 州 大 學(xué) 92 隨機(jī)人口模型 背景 ? 一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件 一個(gè)國(guó)家或地區(qū) 平均生育率平均死亡率 確定性模型 一個(gè)家族或村落 出生概率死亡概率 隨機(jī)性模型 對(duì)象 X(t) ~ 時(shí)刻 t 的人口 , 隨機(jī)變量 . Pn(t) ~概率 P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究 Pn(t)的變化規(guī)律；得到 X(t)的期望和方差 福 州 大 學(xué) 93 若 X(t)=n, 對(duì) t到 t+?t的出生和死亡概率作以下假設(shè) 1)出生一人的概率與 ?t成正比，記 bn?t 。出生二人及二人以上的概率為 o(?t). 2)死亡一人的概率與 ?t成正比，記 dn?t 。死亡二人及二人以上的概率為 o(?t). 3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。 bn與 n成正比，記 bn=?n , ?~出生概率 ； dn與 n成正比，記 dn=?n， ?~死亡概率 。 進(jìn)一步假設(shè) 模型假設(shè) 福 州 大 學(xué) 94 )()1)(()()()( 1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn????????????? ????建模 為得到 Pn(t) P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察 Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n). 事件 X(t +?t)=n的分解 X(t)=n1, ?t內(nèi)出生一人 X(t)=n+1, ?t內(nèi)死亡一人 X(t)=n, ?t內(nèi)沒有出生和死亡 其它 (出生或死亡二人，出生且死亡一人， … …) 概率 Pn(t+?t) Pn1(t), bn1?t Pn+1(t), dn+1?t Pn(t), 1bn?t dn ?t o(?t) 福 州 大 學(xué) 95 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??)()()()( 1111 tPdbtPdtPbdtdP nnnnnnnn ???? ????~一組遞推微分方程 ——求解的困難和不必要 ??????00,0,1)0(nnnnP n (t=0時(shí)已知人口為 n0) 轉(zhuǎn)而考察 X(t)的期望和方差 bn=?n， dn=?n 微分方程 建模 福 州 大 學(xué) 96 ???????1)()()()(nn tEtnPdtdE ????)()()()1()()1(121111tPntPnntPnndtdEnnnnnn????????????????????? ????1)()(nn tnPtEX(t)的期望 求解 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??基本方程 ?????1)()1(kk tPkk?n1=k ????1nndtdPndtdEn+1=k )()1(1tPkkkk????? ?福