【正文】 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )nA s s p s p s p s p? ? ? ? ?（ 247） 多項式 A(s)的根即 p p p pn稱 F(s)的極點，此極點可為實數(shù)亦可為復(fù)數(shù)，（ 246）式可以寫成部分分式形式 1212()()()nnAAABsFsA s s p s p s p? ? ? ? ?? ? ?（ 248） 由于極點 p1 、 p2 、 p3 、 …… 、 pn可為實數(shù)或復(fù)數(shù)，所以系數(shù) A1 、 A2 、 A3 、 …… 、 An An也可為實數(shù)或復(fù)數(shù)。這些系數(shù)有的書又稱留數(shù)。求留數(shù)的方法可分為下面三種情況研究。 1. 不同實數(shù)極點情況 ()( ) ( ) ( )()( ) ( )kk12k k k12spknk k kkn spAABss p s p s pA s s p s pAAs p s p As p s p???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ?由這里可以看出任一留數(shù) Ak可以用下式求出 ()()()kkkspBsA s pAs??????????（ 249） 例 213 求 的拉氏反變換。 53() ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )sFs s s s?? ? ? ?解： 31253()( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 2 3AAAsFss s s s s s?? ? ? ?? ? ? ? ? ?由（ 249）式 ? ?1 1 5 ( 1 ) 3( ) ( 1 ) 1( 2 1 ) ( 3 1 )sA F s s ?? ??? ? ? ? ???? ?2 2 5 ( 2 ) 3( ) ( 2 ) 7( 1 2 ) ( 3 2 )sA F s s ?? ??? ? ? ???? ?3 3 5 ( 3 ) 3( ) ( 3 ) 6( 1 3 ) ( 2 3 )sA F s s ?? ??? ? ? ? ???利用 表 21中的有關(guān)公式： ? ?11231 7 6( ) ( )1 2 376t t tf t L F s Ls s se e e??? ? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?1 7 6()1 2 3Fss s s? ? ? ?? ? ?2. 包含有共軛極點的情況 如果 p1和 p2是共軛復(fù)數(shù)極點，那么式（ 248）可以展開成下式： 3121 2 3()()( ) ( ) ( )nnAAsBsFsA s s p s p s p s p?? ?? ? ? ? ?? ? ? ?（ 250） ?1和 ?2的值是用 (s+p1)(s+p2)乘以（ 250）的兩邊，并令 s=p1或 (s=p2)而求得。 ?1131 2 1 2 1 2312()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... .()( ) ( )spnspnABss p s p s s p s pA s s pAs p s psp?????????? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????可以看出：除項（ ?1s+?2） 外，所有被展開的項都沒有了。于是 111 2 1 2()( ) ( ) ( )()sp spBss s p s pAs?? ??????? ? ? ?????（ 251） 因為 p1是一個復(fù)數(shù)值，方程兩邊也都是復(fù)數(shù)值。使方程（ 251）兩邊的實數(shù)部分相等 ，得到一個方程。同樣， 使方程兩邊的虛數(shù)部分相等 ，得到另一個方程，根據(jù)這兩個方程就可以確定 ?1和 ?2。 例 214 求 的拉氏反變換。 21()( 1 )sFss s s????解： F(s)可展開如下： 12221()( 1 ) ( 1 )ssAFss s s s s s?? ??? ? ?? ? ? ?（ 252） 為了確定 ?1 ， ?2 ，注意到 2 1 ( 0 . 5 0 . 8 6 6 ) ( 0 . 5 0 . 8 6 6 )s s s j s j? ? ? ? ? ? ?由（ 251）知 s 0 . 5 j 0 . 8 6 6s 0 . 5 j 0 . 8 6 61()12sα s αs? ? ? ? ? ?????? ????或 120 .5 0 .8 6 6 ( 0 .5 0 .8 6 6 )0 .5 0 .8 6 6j jj ??? ? ? ? ???使方程兩邊實部和虛部分別相等，得 120 . 5 0 . 5 0 . 5??? ? ?120 . 8 6 6 0 . 8 6 6 0 . 8 6 6??? ? ?或 12 1??? ? ? 12 1??? ? ?由此得： 1 1? ?? 2 0? ?為了確定 A，用 s乘以方程兩邊，并令 s=0，得 201 1( 1 ) ssAss s s ????? ? ???????所以 2 2 2 2 21 1 0 . 5 0 . 5()1 ( 0 . 5 ) 0 . 8 6 6 ( 0 . 5 ) 0 . 8 6 6ssFss s s s s s??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?則 F(s)的拉普拉斯反變換為 ? ?1 0 . 5 0 . 5( ) ( ) 1 c o s 0 . 8 6 6 0 . 5 7 8 s i n 0 . 8 6 6ttf t L F s e t e t? ? ?? ? ? ?( 0)t ?由此例題可以看出： 如果存在共軛極點的話，則反變換式中一定包括三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù) 。 設(shè) F(s)=B(s)/A(s)，在 A(s)=0處有 r個 p1重根 （假設(shè)其余的根是不同的）。 A(s)就可以寫成： 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) . . . . . . . . . ( )r r r nA s s p s p s p s p??? ? ? ? ?F(s)的部分分式展開式為 11111 1 21 1 2()()( ) ( ) ( )rrrrnrrr r nAABsFsA s s p s pBA B Bs p s p s p s p??????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?(253) 式中 Ar 、 Ar1 、 …… 、 A1分別按下式求得 111() ()()rrspd B sA s pd s A s? ????????????????…… 111 ( ) ()! ( )jrrj jspd B sA s pj d s A s? ????????????????…… 1111 11 ( ) ()( 1 ) ! ( )rrrspd B sA s pr d s A s??????????????? ????（ 254） 11() ()()rrspBsA s pAs ??????????11()nsp?的拉氏反變換是由下式 （表 21， 9） 11111( ) ( 1 ) !nPtntLes p n??? ?? ???????（ 255） 給出的。而對應(yīng)于實數(shù)極點的留數(shù) Br+1 、 Br+2 、 … 、 Bn仍由前面推導(dǎo)出的公式算，即 () ()()kkkspBsB s pAs ??????????1 , 2 , . . . . . . ,k r r n? ? ?（ ）下面得到的就是 F(s)的拉普拉斯反變換： ? ?112112 12112( ) ( )......( 1 ) ! ( 2 ) !0nrrptrrrrptp t p tr r nf t L F sAAt t A t A errB e B e B e t?????? ??????????? ? ? ? ???????? ? ?（ ）例 215求 的拉氏反變換． 21()( 2 ) ( 3 )Fs s s s? ??解： 2 1 1 22() ( 3 ) 3 2A A B BFss s s s? ? ? ?? ? ?22 311( ) ( 3 )( 3 ) ( 3 2 ) 3sA F s s ????? ? ? ??? ? ? ?213 314( ) ( 3 )( 2 ) 9ssddA F s sd s d s s s?????? ??????? ? ? ?? ? ? ???????? ????因而上式拉氏反變換為 2 3 3 2 3 31 1 4 1 1( ) ( 1 9 8 6 )1 8 2 9 3 1 8t t t t t tf t e e t e e e t e? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 22 11( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 3 ) 2sB F s s ??? ? ? ? ?? ? ?? ?1 20 11() 2 3 1 8sB F s s ?? ? ? ??21 1 9 1()1 8 2 ( 2 ) 4 ( 3 ) 3 ( 3 )Fs s s s s? ? ? ?? ? ?將 A A B B2 代入前面方程得 四、用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程 ? 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方程； ? 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式； ? 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。 四、用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程 例 216 解方程 ，其中， 22( ) ( )5 6 ( ) 6d y t d y t ytd t d t? ? ?0() 2 , ( 0 ) 2td y t ydt ? ??解：將方程兩邊取拉氏變換，得 ? ?12 6( ) ( 0) ( 0) 5 [ ( ) ( 0) ] 6 ( )s Y s s y y s Y s y Y ss? ? ? ? ? ?將 代入，并整理，得 0() 2 , ( 0 ) 2td y t ydt ? ??22 1 2 6 1 5 4() ( 2) ( 3) 2 3ssYs s s s s s s??? ? ? ?? ? ? ?所以 23( ) 1 5 4tty t e e??? ? ?