【正文】 ?? ? ??1 ()()()() 1 ( )tftttRt?????????? ???248。 (1)是分布密度函數(shù)，是算出來(lái)的。 2 /21() 2 tte? ? ??66 6666661 1 4 1 0( ) [ 1 ( ) ] 0 .9 [ 1 ( ) ] 0 .94 1 0 10() ()104 1 0, ( 4 ) 1 ( ) 0 .1 ,101 0 1 0ttRttzz?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ?? ? ?(r=)即 ：令 ， 得 反 查 正 態(tài) 表 z=t = ( 4 1 . 2 8 2 ) 2 . 7 1 8 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 (連續(xù)型 ) 注意： μ、 σ是隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 注意： μ、 σ是對(duì)數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 該分布的意義是通過(guò)對(duì)數(shù)變換，可以使較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，常用于把幾個(gè)數(shù)量級(jí)的數(shù)據(jù)用對(duì)數(shù)分布去擬合分析。 正態(tài)分布 對(duì)數(shù)正態(tài)分布特征量 例題 ln( ) 1 ( ) ]tRt ???? ? ?()() ()ftt Rt? ? weibull分布 (連續(xù)型 ) 指數(shù)分布、雙參數(shù)指數(shù)分布和正態(tài)分布均可看成是weibull分布的特例。 雙參數(shù) weibull分布的可靠性特征向量 伽瑪函數(shù)可以通過(guò)查表得出 10( ) , 0t ptp t e d t p??? ? ?? 極值型分布 在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，極值隨機(jī)變量的概率分布及其統(tǒng)計(jì)參數(shù)特別有用，比如對(duì)結(jié)構(gòu)抗力要研究其極小值的概率分布，對(duì)于結(jié)構(gòu)荷載則要研究其在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)內(nèi)最大值的概率分布，如結(jié)構(gòu)材料的最小強(qiáng)度值，橋可能承載的最大載荷。 (1) 極值型隨機(jī)變量的確切分布 極值型分布 ()( ) 39。( )d F tf t F tdt??相互獨(dú)立 (1) 極值型隨機(jī)變量的確切分布 極值型分布 ()( ) 39。( )d F tf t F tdt??相互獨(dú)立 (2) 極值型隨機(jī)變量的漸進(jìn)分布 極值型分布 a、指數(shù)型原始分布 — 極值 I型分布 指數(shù)型分布的概率密度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足條件 39。( ) ( )l im l im1 ( ) ( )xxf x f xF x f x? ? ? ????039。2( ) ( ) 1( ) ( )l im l im l im l im1 ( ) ( )xxxxxx x x xf x e F x f t d t ef x e f x eF x e f x e????????????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ???證 明 ： ， 則 () (2) 極值型隨機(jī)變量的漸進(jìn)分布 極值型分布 a、指數(shù)型原始分布 — 極值 I型分布 極值 I型分布的分布函數(shù)為： (2) 極值型隨機(jī)變量的漸進(jìn)分布 極值型分布 b、哥西型原始分布 — 極值 II型分布 (2) 極值型隨機(jī)變量的漸進(jìn)分布 極值型分布 c、有界型原始分布 — 極值 III型分布 (2) 極值型隨機(jī)變量的漸進(jìn)分布 極值型分布 極值 I型、極值 II型和極值 III型分布的相互轉(zhuǎn)換 設(shè)辦公樓樓面活載荷的統(tǒng)計(jì)參數(shù)分別為 μ=38620MPa，σ=17810MPa。經(jīng)檢驗(yàn)，此活荷載服從極值 I型分布，求其分布函數(shù)。 例題 0 .5 7 7 20 .0 0 0 0 7 2 3 0 6 0 3 .3 36( ) e x p { e x p [ 0 .0 0 0 0 7 2 ( 3 0 6 0 3 .3 3 ) ] }F x x?? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?解：常見(jiàn)概率分布的數(shù)字特征 習(xí)題 12 ????2已 知 隨 機(jī) 變 量 X 的 服 從 N ( 5 , 1 0 ) 的 正 態(tài) 分 布 。(1) 寫 出 該 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 密 度 函 數(shù) ， 可 靠 度 函 數(shù) 和 失 效 率 函 數(shù) ；(2) 計(jì) 算 P ( 0 X 2 0 )正 交 表 ： ()= ； ()=習(xí)題 11 彩色電視機(jī)的平均壽命為 15000小時(shí)，假設(shè)其服從指數(shù)分布，如果我們每天使用 2小時(shí)， 5年的可靠度和 10年的可靠度各為多少？ 習(xí)題 13 某城市日電能供應(yīng)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布， μ=， σ=，供應(yīng)量以 GWh計(jì)算。該城市發(fā)電廠最大供電量為9GWh/d。求該城市電力供應(yīng)不足的概率。 ?()=解 習(xí)題 11 彩色電視機(jī)的平均壽命為 15000小時(shí)，假設(shè)其服從指數(shù)分布，如果我們每天使用 2小時(shí)， 5年的可靠度和 10年的可靠度各為多少？ 115000365073005 2 365 5 365 0te???????? ? ???t115000115000彩 色 電 視 機(jī) 平 均 壽 命 =15000 小 時(shí) ， 且 服 從 指 數(shù) 分 布 ， 其 失 效 率 =1/15000可 靠 度 為 R=e年 工 作 時(shí) 間 為 ： 小 時(shí)10 年 工 作 時(shí) 間 為 ： 7300 小 時(shí)5 年 可 靠 度 R(36500)=e10 年 可 靠 度 R(7300)=e習(xí)題 12 ????2已 知 隨 機(jī) 變 量 X 的 服 從 N ( 5 , 1 0 ) 的 正 態(tài) 分 布 。(1) 寫 出 該 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 密 度 函 數(shù) ， 可 靠 度 函 數(shù) 和 失 效 率 函 數(shù) ；(2) 計(jì) 算 P ( 0 X 2 0 )正 交 表 ： ()= ； ()=222 ( 5 )2 ( 5 )1 ( )( 1 ) ( ) e xp[ ] 22( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ()( ) 1 ( )( 2) ( ) ( ) ( )( ) ( )20 5( 20) ( ) ( ) 3210( 0)tttf t etR t tf t etR t tP a X b b axX??????????????? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ???分布密度函數(shù)可靠度函數(shù)失效率函數(shù)05( ) ( ) 1 ( ) 1 15 8510( 0 20) ( 20) ( 0) 32 85 47PX?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?解 習(xí)題 13 某城市日電能供應(yīng)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布， μ=， σ=，供應(yīng)量以 GWh計(jì)算。該城市發(fā)電廠最大供電量為9GWh/d。求該城市電力供應(yīng)不足的概率。 ?()=9 ()~ + )1 1 ( ) 1 xfxf x x f x x?????????? ? ? ? ? ? ? ???+1 . 9 9 解 ： 城 市 電 力 供 應(yīng) 不 足 就 是 用 電 負(fù) 何 超 過(guò) 9GWh/d 的 概 率 ，l n l n令 z=設(shè) 城 市 日 用 電 分 布 密 度 函 數(shù) 為在 正 態(tài) 分 布 圖 上 [ 所 圍 成 的 面 積 就 是 電 力 供 應(yīng) 不 足 的 概 率 。電 力 供 應(yīng) 不 足 概 率 為 ：( ) d ( ) d 隨機(jī)變量的分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然而在一些實(shí)際問(wèn)題中要確定一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)卻是非常困難的，而且有一些實(shí)際問(wèn)題，并不要求全面考察隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數(shù)． 隨機(jī)變量往往可以用一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字來(lái)描述其分布的性態(tài)，這種數(shù)字稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征 (或統(tǒng)計(jì)參數(shù) )。數(shù)字特征雖不能完整地描述它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但已反映出隨機(jī)變量在某些方面的重要特征，它們?cè)诶碚摵蛯?shí)踐上都具有重要的意義．常用的數(shù)字特征有 期望，方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)、偏度系數(shù)，峰度系數(shù)和矩 。 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 期望 (均值 ) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 方差 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 變異系數(shù) 方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)均反應(yīng)隨機(jī)變量的離散程度。 矩 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 0( ) ( )tF t f x dx? ?偏度系數(shù)和峰度系數(shù) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 333設(shè)隨機(jī)變量 X X X3相互獨(dú)立，其中 X1在 [0,6]上服從均勻分布， X2服從 λ=， X3服從λ=3的泊松分布，記 Y=X12X2+3X3，求 D(Y)。 例題 1212 2231 2 31 2 31 2 3( 6 0)( ) 31211( ) 4( ) 3X X X( ) ( 2 3 )( ) 4 ( ) 9 ( ) 3 4 4 9 3 46XDXDXDXD Y D X X XD X D X D X?????? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?解 ： 因 在 [0,6] 服 從 均 勻 分 布 ， 其 方 差 為 同 理 ：由 于 相 互 獨(dú) 立 ， 隨 機(jī) 變 量 Y 的 方 差 為 ：2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 5E X Y E X E YD X Y D X D YD k X c k D x P? ? ?? ? ??? 頁(yè)????? ????.,0,1)(其他bxaabxf2( ) ( ) / 1 2D X b a??設(shè)隨機(jī)變量 X服從均值為 1，方差為 4的正態(tài)分布，且 Y=13X，求 E(Y)和 D(Y)。 習(xí)題 14 經(jīng)室內(nèi)試驗(yàn)，測(cè)定某工程巖石抗拉強(qiáng)度分別為： 求該批巖石抗拉強(qiáng)度的均值，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，變異系數(shù)， 2階原點(diǎn)矩，偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。 習(xí)題 15 設(shè)隨機(jī)變量 X服從均值為 1，方差為 4的正態(tài)分布，且 Y=13X，求 E(Y)和 D(Y)。 習(xí)題 14 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y E k X c k E X cD X Y D X D Y D k X c k D x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?2( ) 1 ( ) 4( ) ( 1 3 ) 1 3 ( ) 1 3 2( ) ( 1 3 ) 3 ( ) 9 4 3 6XE X D XE Y E X E XD Y D X D X??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?解 ： 因 服 從 均 值 為 1 ， 方 差 為 4 的 正 態(tài) 分 布 ， 故，習(xí)題 15 經(jīng)室內(nèi)試驗(yàn)，測(cè)定某工程巖石抗拉強(qiáng)度分別為： 求該批巖石抗拉強(qiáng)度的均值，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，變異系數(shù)，2階原點(diǎn)矩，偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。 28811282213833133111( 1 ) ( ) 12 .15 ( 2) ( ) [ ( ) ] 11 .1388( 3 ) ( ) 36 2 ( 4) / ( ) 36 2 / 12 .15 74 61( 5 ) ( ) ( ) = 15 581( 6) c [ ( ) ] [ ( ) ] = 18 .15 ,8/1iiiix x xiiiixE X x D X x E XD X E Xm E x xE x E x x E Xc? ? ???????? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???????解 ：二 階 原 點(diǎn) 矩 :偏 度 系 數(shù) :3484414 4 42 5 / 36 2 91( 7) c [ ( ) ] [ ( ) ] 28 58/ 28 5 / 36 2 05 8ii