【正文】 Ax ???22222 uDxCy ??傳遞函數(shù)矩陣為 ? ? 221222 )( DBAICG ??? ?ss 并聯(lián)連接 21 uuu ?? 21 yyy ??系統(tǒng)方程 uAA ??????????????????????????2121212100BBxxxx??? ? ? ?uDDxxCC 212121 ?????????y? ? ? ?? ? ? ?)()(00)(212212211111212112121sssssssyuGGDBAICDBAICDDBBAIAICCG????????????????????????????傳遞函數(shù)矩陣 串聯(lián)連接 uBxAuBxAx 11111111 ?????uDxCuDxCy 11111111 ????? ? uDBxCBxAuDxCBxAyBxAuBxAx1211222111222122222222???????????? ? uDDxCDxCuDxCDxCyDxCuDxCy1211222111222122222222??????????串連組合后系統(tǒng)方程 uAA ??????????????????????????12121212121 0DBBxxCBxx?? ? ?uDDxxCCDy 1221212 ????????傳遞函數(shù)矩陣 )()()()()()()()(1212 ssssssssy yu uGuGGyG ???所以 )()()(12 sssyu GGG ? 反饋連接 組合后系統(tǒng)方程為 uAA ??????????????????????????012121221121 BxxCBCBxx??? ? ???????211 0 xxCy傳遞函數(shù)矩陣為 ? ? )()()()(1121 sssIs yu GGGG ??或 ? ? )()()()( 1112 sssIs yu GGGG ??（ 1125） （ 1126） 121 )]()([ ?? sGsGI 應(yīng)當(dāng)指出，在反饋連接的組合系統(tǒng)中， 或 存在的條件是至關(guān)重要的。否則反饋系統(tǒng)對于 某些輸入就沒有一個滿足式（ 1125）或式（ 1126）的輸出。就這個意義來說，反饋連接就變得無意義了。 112 )]()([ ?? sGsGI例 114 利用 MATLAB進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換 傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換 1. 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 MATLAB是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的科技應(yīng)用軟件之一，它以強(qiáng)大的科學(xué)計算能力和可視化功能，簡單易用的編程語言以及開放式的編程環(huán)境等一些顯著的優(yōu)點(diǎn)，使得它在當(dāng)今許許多多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中成為計算機(jī)輔助分析和設(shè)計、算法研究和應(yīng)用開發(fā)的基本工具和首選平臺。在本書中，用它作為系統(tǒng)分析和設(shè)計的軟件平臺，更顯示出獨(dú)特的優(yōu)勢。 本節(jié)利用 MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。 可以用 ss命令來建立狀態(tài)空間模型。對于連續(xù)系統(tǒng)，其格式為 sys=ss(A,B,C,D)，其中 A， B， C， D為描述線性連續(xù)系統(tǒng)的矩陣。 當(dāng) sys1是一個用傳遞函數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)時，可以用命令 sys=ss(sys1)，將其轉(zhuǎn)換成為狀態(tài)空間形式。也可以用命令 sys=ss(sys1,’min’)計算出系統(tǒng) sys的最小實(shí)現(xiàn)。 例 115 控制系統(tǒng)微分方程為 uuuuyyyyy 2424724503510)4( ???????? ????????????求其狀態(tài)空間表達(dá)式。 解 可以先將其轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù) 2450351024247)()()(23423?????????ssssssssusysG輸入下列命令 語句執(zhí)行結(jié)果為 這個結(jié)果表示，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 ? ? uyu]0[1 8 7 7 3 7 000102000040000161 8 7 8 1 8 ??????????????????????????? ?????xxx?注意，在輸入命令中， sys=ss(G)也可以改用[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和 sys=ss(G)近似，也可以計算出矩陣 A、 B、 C、 D。 2. 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 ????????)()()()()()1(kdukCxkykHukGxkx 和連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的輸入方法相類似，如果要輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，首先需要輸入矩陣 G、 H、 C、 d，然后輸入語句 ，即可將其輸入到 MATLAB的workspace中，并且用變量名來表示這個離散系統(tǒng)，其中 T為采樣時間。如果 Gyu表示一個以脈沖傳遞函數(shù)描述的離散系統(tǒng)，也可以用 ss(Gyu )命令，將脈沖傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式。 ),( TdCHGsss y s ?例 116 假設(shè)某離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 )(23423????????zzzzzzzzGyu采樣周期為 ，將其輸入到 MATLAB的 workspace中，并且繪制零、極點(diǎn)分布圖。并且將該離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式。 sT ? 解 輸入下列語句 語句執(zhí)行的結(jié)果為 再輸入語句 ，繪制出零、極點(diǎn)分布圖如下 在執(zhí)行完上述語句后， Gyu已經(jīng)存在于 MATLAB的workspace中，這時再執(zhí)行語句 執(zhí)行結(jié)果為 結(jié)果表示，離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(0001)(00200002)1( kukk????????????????????????? ?????? xx? ? )(4 4 9 8 )( x? 求傳遞函數(shù)矩陣 在已知線性定常系統(tǒng)中的 A、 B、 C和 D矩陣之后，則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以按下式求出 DBAsICsu sysG ???? ? 1][)( )()(例 117 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ????????????????????????? ????????? 212121 11013210uuxxxx??????????????????????????????????????????2121321100003121112uuxxyyy輸入以下語句 解 其中 inv( )函數(shù)是求矩陣的逆矩陣，而 simple( )函數(shù)是對符號運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行簡化。 執(zhí)行結(jié)果如下 這表示 ?????? ?????? ? ssssAsI 2 13231][ 21???????????????????1))1/(1()1/(3)2/(1)2/(2)1/(13))1/(3()(sssssssG. 線性變換 1. 化為對角矩陣 函數(shù) eig( )可以計算出矩陣 A的特征值以及將 A陣轉(zhuǎn)換成對角陣的線性變換矩陣。其語句格式為 [Q , D]=eig(A)，則 D為對角陣并且對角線上各元素為矩陣 A的特征值，滿足 ，因?yàn)? 即： 。 DA ??1 1?? PQDPAP ??1例 118 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 u?????????????????????????1006116100010xx?試作線性變換 , 要求變換后系統(tǒng)矩陣 A為對角陣。 xQxPx ?? ? 1解 先求出系統(tǒng)矩陣的特征值， Q陣可以選擇為由特征值構(gòu)成的范德蒙特矩陣。 輸入語句 可以求出 A陣的特征值為 － － 2和－ 3。 因此 ??????????????? ?9413211111PQ輸入以下語句 執(zhí)行結(jié)果如下 由以上計算數(shù)據(jù)可得系統(tǒng)經(jīng)過線性變換后的方程為 u??????????????????????????1300020001xx?也可以輸入語句 運(yùn)行結(jié)果為 再計算線性變換矩陣 P，并且驗(yàn)證結(jié)果如下 可見，兩種線性變換雖然不同，卻都可以將 A陣轉(zhuǎn)換為對角陣 2. 化為約當(dāng)矩陣 在 MATLAB中用函數(shù)命令 jordan( )來求矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。其命令格式為： [Q , J]=jordan(A)。 輸入?yún)⒘?A是系數(shù)矩陣，輸出參量 J是矩陣 A 的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，而 就是線性變換矩陣，滿足 。 1?? QP11 ?? ?????? PAPQAQJ例 119 將 化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。 ????????????452100010A解 首先輸入語句 運(yùn)行結(jié)果為 可見， Q不滿秩，即矩陣 A的特征值中有重特征值 ,并且 A的獨(dú)立特征向量的個數(shù)小于 n。 因此輸入語句 語句執(zhí)行結(jié)果為 計算結(jié)果表明，矩陣 A的約當(dāng)陣為 。 ???????????100110002J我們驗(yàn)證如下 執(zhí)行結(jié)果為 所計算出的結(jié)果表明，滿足 1???? PAPJ第 1章 結(jié)束