【正文】 變換就會在運(yùn)算中給我們帶來復(fù)變量的超越函數(shù) ， 使得計(jì)算與分析難以順利進(jìn)行 。 為了避免這種情況出現(xiàn) ， 用一種新的工具 z變換替代拉氏變換 ， 用差分方程或 z傳遞函數(shù)來描述采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 。 第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1. Z變換的定義 對于連續(xù)函數(shù) ，它的拉氏變換為： )(tx? ? ??? 0 )()]([)( dtetxtxLsX st?????0* )()()(kkTtkTxtx ?x(t)的采樣信號為 ?? ? ???? ???????00 0** )()()()]([)(kk T sstkekTxdtekTtkTxtxLsX ?() () 上式中的 是 s的超越函數(shù) ， 不便于直接進(jìn)行運(yùn)算 。 因此 ，我們引入一個新的復(fù)變量 ， 將它代人式 ()得 sTe?Tsez ?取拉氏變換則為 ??????0* )()()]([kkzkTxzXtxZ() 第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 定義式 ()為采樣函數(shù) 的 z變換 ， 記為 。 )(* tx )]([)( txZzX ?由上述 z變換的定義可見 ， z變換實(shí)際是拉氏變換的一種變形 。嚴(yán)格地講 ， z變換只適用于使用離散信號的情況 ， 即 z變換式只表征了連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性 ， 而不能反映采樣時刻之間的特性 。 但人們往往根據(jù)習(xí)慣稱 是 的 z變換 ， 這實(shí)質(zhì)上是 指經(jīng)過采樣之后得到的 的 z變換 。 )(zX )(tx)(tx )(* tx 因?yàn)?z變換是對采樣時刻而言 ， 所以 的 z變換就是 的z變換 。 通常把采樣周期 T當(dāng)作一個單位 ， 并將 簡記為 ，這樣 ， 采樣序列的 z變換即定義為 )(* tx )(kTx)(kTx )(kx???????0* )()]([)]([)(kkzkxkxZtxZzX() 因而 ??????? 21 )2()1()0()( zxzxxzX這是復(fù)變量 的冪級數(shù) ， 只有當(dāng)其收斂時 ， 才能求得其簡短的封閉形式 。 1?z第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 求單位躍階函數(shù)的 z變換 。 說明：如果能夠知道連續(xù)函數(shù) x(t)在各采樣時刻的離散值 x(kT)，可以按照定義求 x(t)的 z變換 。 解： 單位躍階函數(shù)在各個采樣時刻的值均為 1， 因此 120[ 1 ( ) ] 1 1 1 1 1knkZ t z z z z?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??1111 ???? ? zzz當(dāng) ， 即 時 ， 級數(shù)收斂 。 11 ??z 1?z例 求函數(shù) eat的 z變換。 解 ： 1 2 20[ ] 1a t a k T k a T a T n a T nkZ e e z e z e z e z?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??aTaT ezzze ??? ???? 111第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 已知連續(xù)函數(shù) x(t)的拉氏變換為 ， 求函數(shù)的 z變換 。 其中 ， pi是 X(s)的極點(diǎn) ， ai為極點(diǎn) pi的留數(shù) ， 而 所對應(yīng)的時間函數(shù)為 ， 由上例可知其 z變換為 ， 因此 ， 相應(yīng)于 x(t)的 z變換為 )2(2)(?? sssX解：如果連續(xù)函數(shù) x(t)的拉氏變換 X(s)為 s的有理函數(shù) ， 并且 X(s)的分母多項(xiàng)式能夠分解因式時 ， 可以將 X(s)展 開成部分分式 ， 即 ?? ??ni iipsasX1)(iipsa?tpi ieaTpi iezza?????? ?????niTpiniTpizeaezzatxZzXii 1 11 1)]([)(211)2(2)(????? sssssXtetx 21)( ???解 :因?yàn)? ，又拉氏反變換得 所以 ))(1()1()1)(1()1(1111)(2212121121 TTTTT ezzezzezezzezzX ?????????? ????????????第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2 .Z變換的性質(zhì) 與拉氏變換相類似 ， z變換也有一些基本定理 ， 根據(jù)這些定理 ，加上熟悉表列出的一些簡單函數(shù)的 z變換 ， 則可以方便地求出一些復(fù)雜函數(shù)的 z變換 。 （ 1）線性定理 設(shè)函數(shù) ， 則 ???niii txatx1)()(???niii zXazX1)()(即各函數(shù)線性組合的 z變換 ， 等于各函數(shù) z變換的線性組合 。 這由定理很容易證明 ， 這里就不給出詳細(xì)證明過程 。 （ 2）滯后定理 設(shè)在 時連續(xù)函數(shù) ， 其 z變換為 ， 則 0?t 0)( ?tx )(zX)()]([ zXzmTtxZ m???第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 遲后定理說明 ， 原函數(shù)在時域中延時 m個采樣周期 ， 相當(dāng)于其z變換乘以 。 由此可見算子 的物理意義 ， 即是把采樣信號延時 m個采樣周期 ， 代表遲后環(huán)節(jié) 。 mz? mz?1?z（ 3）超前定理 ])()([)]([10? ??????mkkm zkTxzXzmTtxZ)()]([ zXzmTtxZ m??設(shè)在 時連續(xù)函數(shù) ， 其 z變換為 ， 則 0?t 0)( ?tx )(zX在特殊情況下 ， 若 則超前定理為 0))1(()()0( ????? TmxTxx ?（ 4）初值定理 設(shè)函數(shù) 的 z變換為 ， 并且 存在 ， 則 )(tx )(zX)(lim zXz ??0( 0 ) ( ) ( )l im l imtzx x t X z? ? ???第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 設(shè)函數(shù) 的 z變換為 ， 則 （ 5） 終值定理 ()xt ()Xz)()1(l i m)()1(l i m)(l i m)( 111 zXzzXzkTxx zzk ????? ??????終值定理常用于計(jì)算采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 。 3. Z反變換 所謂 z反變換，就是根據(jù) ，求出 或者 ，記作 )(zX )(kx )(* tx)]([)( 1* zXZtx ?? 或 )]([)( 1 zXZkx ??得到了 或 ， 通常也就得到了 。 )(* tx )(kTx )(tx下面介紹三種常用的求解 z反變換的方法 。 第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 （ 1）冪級數(shù)法 (長除法 ) X(z)的一般表達(dá)式為 011011)(azazabzbzbzXnnnnmmmm?????????????根據(jù) X(z)的定義 ， zk的系數(shù) ck就是 x(k)， 對上式 z反變換為 ， 用分子除以分母可得 ????? ????0110)(kkk zczcczX ??? ????????? )()2()()()( 210* kTtcTtcTtctctx k ????這種方法適用于簡單的函數(shù) ， 但難以求得 的簡短的封閉形式 。 )(* tx第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 求 的 z反變換式 。 1)( ?? zzzX 解： 因?yàn)? ?? ??????????? nzzzzzzX 2111)(由 z變換定義得 1)()2()()0( ?????? ?? TxTxTxx01)( ?? kkTx ，即 （ 2） 部分分式法 采用部分分式法可以求出離散函數(shù)的閉合形式 ， 其方法與求拉氏反變換的部分分式法類似 。 稍有不同的是 ， 由于 X(z)的分子中通常都含有 z， 因此應(yīng)將 X(z)除以 z， 然后展開為部分分式 ， 再根據(jù) z變換表寫出起原函數(shù) 。 1） 如 X(z)的極點(diǎn)互異 ， 則 1() m jj jAXzz z z?? ??式中 ， zj是 的極點(diǎn) ， Aj是相應(yīng)于 zj的留數(shù) ()Xzz()[ ( ) ]jj j z zXzA z zz ???第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 式中 ， zj是 的單極點(diǎn) ， Aj是相應(yīng)于 zj的留數(shù)； zi是 的重極點(diǎn) ， r是它的階次 ， Bk為對應(yīng)的留數(shù)： 2） 如 X(z)含有重極點(diǎn) ， 則 11() ()mr j k kjk jiAz BzXzz z z z???? ????zzX )( zzX )(1 ( )[ ( ) ]( ) ! irkrk i z zrkd X zB z zr k d z z??????例 用部分分式法求 的反變換式 。 23)( 2 ??? zzzzX解： 211123)(2 ??????? zzzzzzzX21)( ???? zzzzzX021]2[]1[]21[)( 111 ??????????? ??? kz zZz zZz zz zZkTx k ，第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 （ 3） 留數(shù)法 已知 ， 則通過復(fù)變函數(shù)中的某些定理進(jìn)行演算 ， 可得計(jì)算公式 ?????0)()(kkzkxzX? ??? m zzk mzzXR e skx ])([)( 1式中 ， Res[]表示函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù) ， zm是 X(z)zk1的極點(diǎn) ， m是極點(diǎn)數(shù) 。 1)對于單重極點(diǎn) ， mzzkmk zzXzzzzXR e s ??? ?? ])()[(])([ 112)如果 X(z)zk1在 z=zm處有 r階重極點(diǎn) ， 則 mmzzkrmrrzzk zzXzzdzdrzzXR e s???????????? ??? ])()[()!1(1])([ 1111第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 已知 ，試求 x(kT)。 2)1()( ?? zzTzX解： 21)1()( ???zTzzzX kkkTTzdzdzTzzdzdkTxzkzk???????????????????? 1122 ])1()1[()!12(1)(第 2章 機(jī)電控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 離散系統(tǒng)的差分方程 線性采樣系統(tǒng)通常采用差分方程和 z傳遞函數(shù)這兩種重要的數(shù)學(xué)工具來進(jìn)行分析處理 ， 上一節(jié)介紹了 z傳遞函數(shù)的相關(guān)知識 ， 本節(jié)將繼續(xù)討論采樣系統(tǒng)的差分方程 。 如將連續(xù)系統(tǒng)離散化 ， 則可將各階微分用各階差分近似代替 ，從而得到用輸出 、 輸入信號的離散序列及其各階差分所描述的系統(tǒng)運(yùn)動方程 ， 如下所示：