【正文】 ?????????????1111Arnnrnrabbb????????????????1111Bnmmnmncccc????????????????1111Crmmrmrdddd????????????????1111D如果矩陣 A, B, C, D中的所有元素都是實常數(shù)時，則稱這樣的系統(tǒng)為線性定常（ LTI，即： Linear TimeInvariant） 系統(tǒng)。 本章內(nèi)容為： 狀態(tài)空間表達式 由微分方程求出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 傳遞函數(shù)矩陣 離散系統(tǒng)的數(shù)學模型 線性變換 (狀態(tài)變量選取非唯一） 組合系統(tǒng)的數(shù)學描述 利用 MATLAB進行模型之間的變換 狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)空間 狀態(tài) —— 動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是一個可以確定該系統(tǒng)行為的信息集合。 狀態(tài)變量 —— 確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量，如果知道這些變量在任意初始時刻 的值以及 的系統(tǒng)輸入，便能夠完整地確定系統(tǒng)在任意時刻 的狀態(tài)。 如果這些元素中有些是時間 t 的函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。 在水平方向，應用牛頓第二定律： ulytmt yM ??? )s in(dddd 2222?對擺球來說，在垂直于擺桿方向，應用牛頓第二定律： ?? s in)s in(dd 22mglytm ??而有： ??? ??? )( c o s)( s indd t????? ??? ????? co s)s in()( s indd 222t??? ???? )s in()( c o sdd t????? ??? ?????? )s in()co s()( co sdd 222t1cos ??線性化：當 和 較小時 ，有 ? ?? ?? ?sin 02 ???? ?化簡后，得 umlymM ??? ?????)(?? mgmlym ?? ????求解得： uMMmgy 1??? ??? uMlMl gmM 1)( ??? ?? ??選擇狀態(tài)變量 ， ， ， 為系統(tǒng)輸入， 為系統(tǒng)輸出 yx ?1 yxx ?? ?? 12 ??3x ??? ?? 34 xxu y。 )(sgij )(syi)(suj例 17 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 uxx??????????????????????????100100211340010? xy ???????100001求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。 4）傳遞函數(shù)一般僅適用于單入單出系統(tǒng)；狀態(tài)空間表達式可用于多入多出系統(tǒng)的描述。 等價系統(tǒng)方程 1. 線性定常系統(tǒng) ???????DuCxyBuAxx? （ 1） 為 n 維狀態(tài)向量； 為 r 維輸入向量； 為 m維輸出向量； 、 、 、 為相應維數(shù)的矩陣。 下面以兩個子系統(tǒng) 和 構成的組合系統(tǒng)進行介紹。對于連續(xù)系統(tǒng)，其格式為 sys=ss(A,B,C,D)，其中 A， B， C， D為描述線性連續(xù)系統(tǒng)的矩陣。并且將該離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)模型轉換成狀態(tài)空間表達式。其命令格式為： [Q , J]=jordan(A)。 1?? QP11 ?? ?????? PAPQAQJ例 119 將 化為標準形矩陣。 執(zhí)行結果如下 這表示 ?????? ?????? ? ssssAsI 2 13231][ 21???????????????????1))1/(1()1/(3)2/(1)2/(2)1/(13))1/(3()(sssssssG. 線性變換 1. 化為對角矩陣 函數(shù) eig( )可以計算出矩陣 A的特征值以及將 A陣轉換成對角陣的線性變換矩陣。也可以用命令 sys=ss(sys1,’min’)計算出系統(tǒng) sys的最小實現(xiàn)。否則反饋系統(tǒng)對于 某些輸入就沒有一個滿足式（ 1125）或式（ 1126）的輸出。 化系數(shù)矩陣 A 為標準形 所謂標準形是指：對角形、約當形、模態(tài)形 iλ設 是 矩陣 A 的特征值，如果存在一個 n 維非零向量 使 nn? iqiii qλAq ? ),2,1( ni ?? 或 0)( ??iiλ qAI成立，則稱 為 A 的對應于特征值 的特征向量。且一般有 m≤n。若 ，則稱 是嚴格正則的。通過選擇合適的狀態(tài)變量，就可以得到狀態(tài)空間表達式?？梢杂孟旅娴臓顟B(tài)方程和輸出方程表示。 例 ：如下圖所示電路， 為輸入量， 為輸出量。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設計，本課程所研究的內(nèi)容是基于系統(tǒng)的數(shù)學模型來進行的。這是一個矩陣代數(shù)方程。） eK mK DJf可選擇電樞電流 和角速度 為狀態(tài)變量，電動機的電樞電壓 為輸入量，角速度 為輸出量。 解 （ 1）待定系數(shù)法 選擇狀態(tài)變量如下 uxxuxxuyx22311201???????????其中 2 2 4 01 6 0186 4 01 6 006 4 001 9 21 6 00022110003100112022130?????????????????????????????????aaabaababb于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 uxxxxxx??????????????????????????????????????????????2240160018192640100010321321???? ????????????321001xxxy（ 2）輔助變量法 引入輔助變量 z uzzzz ???? 6 4 01 9 218 ??????zzy 640160 ?? ?選擇狀態(tài)變量 zx ?1 12 xzx ?? ?? 23 xzx ??? ??于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 uxxxxxx?????????????????????????????????????????????100181 9 26 4 0100010321321???? ????????????32101 6 06 4 0xxxy 傳遞函數(shù)矩陣 傳遞函數(shù) —— 系統(tǒng)初始松弛（即：初始條件為零）時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。 閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣 )()()( sss BuE ??)()()()()()( ssssss EGHyHB ??? ? )()()()()( 1 sssss uGHGIy ???于是閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣為 ? ? )()()()( 1 ssss GHGIG H ???或 ? ?1)()()()( ??? ssss GHIGG H 傳遞函數(shù)（矩陣）描述和狀態(tài)空間描述的比較 1）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入 輸出間的關系描述，非初始松弛系統(tǒng)，不能應用這種描述；狀態(tài)空間表達式即可以描述初始松弛系統(tǒng)，也可以描述非初始松弛系統(tǒng)。選擇不同的狀態(tài)變量，則得到的狀態(tài)空間表達式也不相同。 3. 化矩陣 A 為模態(tài)形 在此情況下， A 的模態(tài)形為 ???????? ????M設 為對應于 的特征向量，則 1q jωσ1 ??λ ? ? 11jωσ Aqq ??令 111 j βαq ??則 ? ?11 βαQ ? ? ?1111 βαQP ??變換矩陣 例 113 將 化為模態(tài)形 ??????????41712A解 0256417 12de t)Δ( 2 ?????????????? λλλλλ特征值為 431 jλ ??? 432 jλ ????????? ???????? ?????????? ????22112211jj41712jj)43(????????j 解得 ??????????????????????40j1112111 qqq因此 ???????? 41 01Q ??????????4141011QP?????? ?????34431P A P 組合系統(tǒng)的數(shù)學描述 工程中較為復雜的系統(tǒng)，通常是由若干個子系統(tǒng)按某種方式連接而成的。在本書中，用它作為系統(tǒng)分析和設計的軟件平臺，更顯示出獨特的優(yōu)勢。 2. 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 ????????)()()()()()1(kdukCxkykHukGxkx 和連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的輸入方法相類似，如果要輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，首先需要輸入矩陣 G、 H、 C、 d，然后輸入語句 ，即可將其輸入到 MATLAB的workspace中，并且用變量名來表示這個離散系統(tǒng)，其中 T為采樣時間。 xQxPx ?? ? 1解 先求出系統(tǒng)矩陣的特征值， Q陣可以選擇為由特征值構成的范德蒙特矩陣。 ???????????100110002J我們驗證如下 執(zhí)行結果為 所計算出的結果表明，滿足 1???? PAPJ第 1章 結束