【正文】 ? ?3分別為各軸及相應齒輪的轉動慣量和轉角， f f f3為傳動中各軸及齒輪的粘性阻尼系數(shù) 。 將上式改寫為 11m e q e q L e qT J f T??? ? ?該傳動裝臵可轉化為下圖所示等效齒輪傳動。 電氣系統(tǒng)的微分方程主要根據 基爾霍夫定律和電磁感應定律 等基本物理規(guī)律列寫 。 根據基爾霍夫定律和歐姆定律，有 1 1 31iu i R i d tC?? ?（ 210） （ 211) （ 212） （ 213） 圖 27 無源網絡 iu ou L 1R C 2R 1i 2i 3i 將方程聯(lián)立求解，消去中間變量 i1(t)、 i2(t)、 i3(t)后，即可得到以 ui(t)為輸入量，以 uo(t)為輸出量的電路微分方程式，即： ? ? ? ?21 1 2 1 2 22 ( ) ( ) ( ) ( )oo oid u t d u tR L C R R C L R R u t R u td t d t? ? ? ? ?（ 214） 第三節(jié) 非線性系統(tǒng)的線性化 所有元件和系統(tǒng)都不同程度地具有非線性特性，例如：元件的死區(qū)、傳動的間隙和摩擦，在大輸入信號作用下元件輸出量的飽和以及元件存在的非線性函數(shù)關系等等。 在工作中，控制系統(tǒng)各個變量偏離其平衡值一般都比較小，因此，對于具有非本質非線性特性的系統(tǒng)，可以采用小偏差線性化的方法求取近似的線性微分方程以代替原來的非線性微分方程。 1. 忽略非線性因素。如死區(qū)、磁滯以及某些干摩擦等，一般情況下就可以忽略。 非線性函數(shù)的線性化方法 如果工程中存在著一些元件（或系統(tǒng)）其輸出與輸入的靜態(tài)關系如下所示。 若 BC的斜率為 k，則輸入與輸出關系可以表示為 : y k x? ? ?式中： ?y為在平衡點 A附近 輸出量 的變化； ?x為在平衡點 A附近 輸入量 的變化； 一個非線性系統(tǒng)，如果在平衡點附近工作時，就可以用線性關系描述其輸出與輸入的關系。 （ 215） 0 0220 0 02()1( ) ( ) ( )2!xxxxy f xd f d ff x x x x xd x d x???? ? ? ? ? ?非線性關系如果可用下述解析形式表達時 ()y f x? （ 216） 平衡工作點為 A(x0、 y0) ，則（ 216）式在平衡點展成泰勒級數(shù)為 （ 217 ） 用解析關系描述的非線性關系線性化 假設 (xx0) 很小，則可以忽略高次項，而只保留一次項，則（ 217）可以寫成 00 0 0 0( ) ( ) ( )xxdfy f x x x y k x xdx ?? ? ? ? ? ? （ 218） 式中 00()y f x?0xxdfkdx ??所以，式（ 218）變?yōu)椋? 00()y y k x x? ? ?（ 219） 即 y k x? ? ?如果輸出量 y為兩個輸入量 x1與 x2的函數(shù)時，即 12( , )y f x x?（ 220） 為了得到線性系統(tǒng)的近似線性關系，仍然在平衡點展成泰勒級數(shù)，即： 1 1 0 1 1 0 1 1 02 2 0 2 2 0 2 2 02 2 2221 1 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0221 1 2 21( ) ( ) ( ) ( )2!........x x x x x xx x x x x xf f fx x x x x x x xx x x x? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? （ 221） 1 1 0 1 1 02 2 0 2 2 01 0 2 0 1 1 0 2 2 012( , ) ( ) ( )x x x xx x x xffy f x x x x x xxx??????? ? ? ? ? ?????當系統(tǒng)在平衡點附近工作，忽略高次項，于是（ 221）式可以寫成 : 0 1 1 1 0 2 2 2 0( ) ( )y y k x x k x x? ? ? ? ?（ 222） 式中 0 1 0 2 0( , )y f x x?1 1 02 2 011xxxxfkx ????? 1 1 02 2 022xxxxfkx ?????( 222)式又可以寫成： 1 1 2 2y k x k x? ? ? ? ?（ 223） 為了書寫方便起見，增量 ?y與 ?x均可以用變量 y與 x代替，但在理解時，應看作在工作點附近小范圍內的關系。 例 23 圖 29為一液面系統(tǒng)。列出液面波動的運動方程式。根據物質守恒定律可得 ( 2 2 6 )rcdhd t S???由流量公式可知 ( 2 2 7 )cQh ???式中 ?決定于流通管道面積及其結構形式的參數(shù)。 1rdh hQd t S S???顯然式（ 228）是一個非線性方程式。工作點不同，得到的線性化微分方程的系數(shù)也不同； （ 2）若使線性化具有足夠的精度，調節(jié)過程中變量偏離工作點的偏差信號必須足夠?。? （ 3）線性化后的運動方程是相對額定工作點以增量來描述的。 第四節(jié) 拉普拉斯變換 微分方程 → 代數(shù)方程 一、拉普拉斯變換的定義 設 f(t)是實變量 t的單值函數(shù)，在 t≥0的任一有限區(qū)間上是連續(xù)的或至少是分段連續(xù)的。即存在一個正實數(shù)?，在 t趨于無窮大時，它使函數(shù) e? t∣ f(t)∣ 趨近于零。但是，若函數(shù) f(t)在 t=0處有突跳，這就存在積分下限是從正的一邊趨向于零，還是從負的一邊趨向于零，即積分下限是取 0+還是 0的問題。我們采用如下標記區(qū)分這種差別： ? ? 0( ) ( ) ( 2 3 1 )stL f t f t e d t?? ?? ???? ? 000( ) ( ) ( ) [ ( ) ]s t s tL f t f t e d t f t e d t L f t???? ????? ? ???式中 s是一個實部大于 ?的復變量。通常稱 f(t)為原函數(shù) 、 F(s)為拉氏變換函數(shù)或原函數(shù)的象函數(shù) 。 ( ) ( )f t u t?u(t)為單位階躍函數(shù)，見圖 210（ a）。 單位斜坡函數(shù)如圖 210（ b） 所示，定義為 00()0tfttt??? ???解：利用（ 230）式，可得 0() stF s t e d t? ????利用分部積分公式 u d v u v v d u????令 ut? std v e d t??d u d t? 1stves??? )( tf t O （ b）單位斜坡函數(shù) 圖 210 函數(shù)曲線 所以 002011()1 1 10s t s tstF s t e e dtsses s s??????????? ? ?????????????? ? ? ????????例 26求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換。定義為 00()0ttt????? ???并且 ( ) 1t d t??????式中 f(0)表明 t=0時刻的 f(t)的函數(shù)值。利用（ 230）式求得的拉氏變換為 00000( ) ( )( ) ( )01sts t s tsttF s t e dtt e dt t e dte?????????????????? ? ????() stf t e ??注： 例 27求指數(shù)函數(shù) f(t)=eat的拉氏變換 解：利用（ 230）式，可得 ()00()0()11a t s t s a ts a tF s e e dt e dtes a s a??? ? ?? ? ???? ? ?????例 28求正弦函數(shù) f(t)=sin?t的拉氏變換。 2．微分定理 設 L[f(t)]=F(s)，則有 ()( ) ( 0 )d f tL s F s fdt??? ?????? (233) 式中 f(0+)表示當 t在時間坐標軸的右端趨于零時的 f(t)值，相當于初始條件 證明：由（ 230）式可得： 0( ) ( ) std f t d f tL e d td t d t? ????????? ?利用分部積分法， 則 u d v u v v d u????令 , stue ?? ()d f td v d tdt??則 ,std u s e d t??? ()v f t?故 0 0()( ) ( )( ) ( 0 )s t s td f tL e f t s f t e d tdts F s f?? ? ????? ? ?????? ? ??同理，可進一步推出 f(t)的各階導數(shù)的拉氏變換為 : 22 ( 1 )2() ( ) ( 0 ) ( 0 )d f tL s F s s f fdt???? ? ? ?????1 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )() ( ) ( 0 ) ( 0 ) . . . . ( 0 ) ( 0 )nn n n n nnd f tL s F s s f s f s f fdt? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????? （ 234） 式中 f(0+)、 f (1)(0+) 、 32325 6 2 4d y d y d y d xyxd t d t d t d t? ? ? ? ?解：利用線性定理和微分定理，可得 325 ( ) 6 ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )s Y s s Y s s Y s Y s s X s X s? ? ? ? ?3. 積分定理 ( 1 )11( ) ( ) ( 0 )L f t d t F s fss???? ?????（ 236） 式中 為 在 t時間坐標軸的右端趨于零時的 f(t)的值，相當于初始條件。、 f (n)(0+) 為式中 f(t)的各重積分在 t=0+時的值，如果這些初值為零，則有 1( ) ( )nnL f t d t F ss??? ? ? ? ????? （ 238） ? （ 237） ４．初值定理 設 f(t)及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，則 f(t)的初值為 0( 0 ) l i m ( ) l i m ( )tsf f t s F s?? ? ?? ? ?（ 239） 證明： 由微分定理得知 0( ) ( ) ( ) ( 0 )std f t d f tL e d t s F s fd t d