【正文】 t+△ t)發(fā)生的概率，表示為 P(A|B)。 ()()()FttRt? ?失 效 率 :000039。( )d F tf t F tdt??累積失效概率 (不可靠度 )與失效概率密度關(guān)系： ? 系列關(guān)系式： 39。 39。由 (t)=R 可 得 ：將 兩 邊 積 分 得 ：即 ：( ) 1 ( )R t F t??()( ) 39。但對目前具有高可靠性的產(chǎn)品來說，就需要采用更小的單位來作為失效率的基本單位，因此失效率的基本單位用菲特 (Fit)來定義， 1菲特 =109/h=106 /1000h，它的意義是每 1000個產(chǎn)品工作 106 h，只有一個失效。 (2)失效率曲線 (浴盆曲線 ) ? 第一段曲線是元件的早期失效期，表明元件開始使用時，它的失效率高，但迅速降低。 ? 第三段曲線是元件的耗損失效期，失效率隨時間延長而急劇增大。 平均壽命 ? 如果僅考慮首次失效前的一段工作時間，那么可將不可修和可修產(chǎn)品統(tǒng)稱為平均壽命，記作 θ。 ? 可修產(chǎn)品平均壽命 MTBF估計值為： 111 jnnijijM T T F tN???? ??式中： N為測試產(chǎn)品所有的故障數(shù)； ni為第 i個測試產(chǎn)品的故障數(shù)； tij為第 i個產(chǎn)品第 j1次故障到第 j次故障的工作時間，單位為 h。產(chǎn)品壽命方差的定義為： 壽命方差與標(biāo)準(zhǔn)差 22 2 200( ) ( )f t d t t f t d t? ? ?? ? ? ?? ? ???( t )如果 n個產(chǎn)品抽樣測試的壽命分別為 t1， t2， … ，tn，產(chǎn)品壽命平均值與方差分別為： 1221111()niinitntn???????????壽命的標(biāo)準(zhǔn)差為壽命方差的平方，即： 2111 ()nitn??????可靠壽命、中位壽命和特征壽命 可靠壽命是指可靠度等于給定值 r時產(chǎn)品的壽命，表達(dá)式為： 1( ) ( )t r R r??式中： R1(r)是 R(t)的反函數(shù) 當(dāng) R=，表達(dá)式為： 1( 0 . 5 ) ( 0 . 5 )tR ??當(dāng) R=e1=，即： 1 1 1( ) ( )t e R e? ? ??可靠性特征的數(shù)學(xué)表達(dá)式及其關(guān)系 可靠性特征的數(shù)學(xué)表達(dá)式及其關(guān)系 習(xí)題 1： 一組元件的故障密度函數(shù)為： 0 . 2 5( ) 0 . 2 5 ( )8f t t??式中： t為年。 習(xí)題 2： 已知某產(chǎn)品的失效率為常數(shù)，λ (t)=λ = 104/h。 習(xí)題 3： 50個在恒定載荷運(yùn)行的零件，運(yùn)行記錄如下表： 求： (1)零件在 100h和 400h的可靠度； (2)100h和400h的累積失效概率； (3)求 10h和 25h時的失效概率密度； (4)求 t=25h和 t=100h的失效率。求：累積失效概率 F(t)，可靠度函數(shù) R(t)，失效率 λ(t)，平均壽命 θ ，中位壽命 T()和特征壽命 T(e1)。 20 .3 6 8Rr? 為 特 征 壽 命 ， 即 ：=+16解得 r1= (r2=年 8舍去 )。 求：可靠度 R=99%的可靠壽命，平均壽命 θ ，中位壽命 T()和特征壽命 T(e1)。 時間 h 10 25 50 100 150 250 400 3000 失效數(shù) △ n(t) 4 2 3 7 5 3 4 3 累積失效數(shù) n(t) 4 6 9 16 21 24 28 31 仍舊工作數(shù) Nn(t) 46 44 41 34 29 26 22 19 解： ( 1 0 0 ) 3 4? ( 1 0 0 ) 0 .6 850( 4 0 0 ) 2 2? ( 4 0 0 ) 0 .4 450( 1 0 0 )? ( 1 0 0 ) 1 6 / 5 0 0 .3 2( 4 0 0 )? ( 4 0 0 ) 2 8 / 5 0 0 .5 6N n tRNN n tRNnFNnFN?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?3333( 1 0 ) 2? ( 1 0 ) 2 .6 7 1 0 /5 0 ( 2 5 1 0 )( 2 5 ) 3? ( 2 5 ) 2 .4 1 0 /5 0 ( 5 0 2 5 )( 2 5 ) 3? ( 2 5 ) 2 .7 1 0 /( ( 2 5 ) ) 4 4 ( 5 0 2 5 )( 1 0 0 ) 5? ( 1 0 0 ) 2 .9 1 0 /( ( 1 0 0 ) ) 3 4 ( 1 5 0 1 0 0 )nfhNtnfhNtnhN n tnhN n t??????? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ???要點： f(t)、 λ(t) 是研究 t時間后單位時間的失效產(chǎn)品數(shù)， f(t) 是除以試驗產(chǎn)品總數(shù)， λ(t) 是除以 t時仍正常工作的產(chǎn)品數(shù)。 維修性特征量 維修性定義： 維修性是指在規(guī)定的條件下使用的可維修產(chǎn)品，在規(guī)定的時間內(nèi)，按規(guī)定的程序和方法進(jìn)行維修時，保持或恢復(fù)到能完成規(guī)定功能的能力。 把產(chǎn)品維修時間 Y所服從的分布稱為維修分布，記為 G(t)。 維修度 ( ) ( ) ( )M t P Y t G t? ? ?維修度 (Maintainability)定義 維修度是時間 (維修時間 t)的函數(shù)，故又稱為維修度函數(shù)M(t)， 它表示當(dāng) t=0時，處于失效或完全故障狀態(tài)的全部產(chǎn)品在 t時刻前經(jīng)修復(fù)后有百分之多少恢復(fù)到正常功能的累積概率。 對應(yīng)于產(chǎn)品的失效率 λ (t)。(t))尚 未 修 復(fù) 部 分 (1M(t))修復(fù)率定義 維修度 M(t)對應(yīng)產(chǎn)品的累積失效概率 F(t) ， m(t)為維修時間的概率密度函數(shù)。 ( ) 1 ,1 ( )()1 ( )tM t ed M ttM t d t?????????如 果 服 從 指 數(shù) 分 布 平均修復(fù)時間是指可修復(fù)的產(chǎn)品的平均修理時間，其估計值為修復(fù)時間總和與修復(fù)次數(shù)之比，記作 MTTR(Mean Time To Repair)。 平均修復(fù)時間 0 ()MT T R td M t??? ?平均修復(fù)時間 (MTTR)定義 1M TTR??如 果 維 修 時 間 服 從 指 數(shù) 分 布0 ()M T BF R t dt??? ?0( ) ,1()tR t eM T BF R t dt?????????如 果 服 從 指 數(shù) 分 布兩個重要規(guī)律 ( ) 1 tM t e ????如 果 M(t) 服 從 指 數(shù) 分 布 ,項目 可靠度 維修度 累積分布函數(shù) 可靠度函數(shù) R(t) 1M(τ) 不可靠度函數(shù)： F(t) 維修度函數(shù)： M(τ) 密度函數(shù) 失效密度 f(t)=dF(t)/R(t) 維修概率密度m(τ)=dM(τ)/dτ (單位時間 )率 失效率 λ (t)=f(t)/R(t) 修復(fù)率 μ(τ)=m(τ)/[1M(τ)] 可靠度與維修度之間的關(guān)系 R(t)及F(t) (%)100%R(t)F(t) M(t)M(t)100%可靠度或不可靠度 維修度 平均修復(fù)時間 例題： 有效性特征量 有效性定義： 有效性也稱可用性，表示可維修產(chǎn)品在規(guī)定的條件下使用時具有維持規(guī)定功能的能力。有效性是一個反映可維修產(chǎn)品使用效率的廣義可靠性尺度。對于不可維修的產(chǎn)品，有效度等于可靠度。它又分為瞬時有效度、平均有效度、穩(wěn)態(tài)有效度和固有有效度四形式。瞬時有效度常用于理論分析，而不便用于實踐。 又稱任務(wù)有效度 。記為 A(∞ )或 A，又稱為時間有效度或可工作時間比。 teA????????t指數(shù)分布可靠度：R ( t ) = , 維修度：M ( t ) = 1 e ，穩(wěn)態(tài)有效度為：1MTTR?? 01()M TB F R t d t??????4 、固有有效度 固有有效度是事后維修，它分析的是實際不能工作的時間。 其與穩(wěn)態(tài)有效度的區(qū)別： 穩(wěn)態(tài)有效度是時間 t趨近于 ∞ 的瞬時有效度。 習(xí)題 4： 一設(shè)備從以往的經(jīng)驗知道，平均無故障時間為 20天，如果出了故障需 2天方能修復(fù)，假定該設(shè)備發(fā)生故障時間及修復(fù)時間服從指數(shù)分布。 求： (1)該設(shè)備 5天和 15天的可靠度各為多少 ?； (2)該設(shè)備的穩(wěn)態(tài)有效度為多少 ? 解： (1)該設(shè)備平均無故障時間時間為 20天，即 MTBF=20 因 MTBF=1/λ， λ=1/20； 同理平均修復(fù)時間為 2天， MTTR=1/μ， μ=1/2 R(5)=exp( λt)=exp(5/20)= R(15)=exp( λt)= exp(15/20)= (2)A= μ/(μ+λ)= A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22= 穩(wěn)態(tài)有效度定義 () U M T BFAA U D M T BF M T T R? ? ? ? ?? ? ?可 工 作 時 間可 工 作 時 間 不 能 工 作 時 間 概率的基本運(yùn)算 隨機(jī)事件 隨機(jī)事件的定義： 凡是事先不能確定結(jié)果的現(xiàn)象稱隨機(jī)現(xiàn)象，我們將一定條件下可能發(fā)生也有可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。 在一定的條件下，必然會發(fā)生的事件是必然事件，記為 Ω ；一定不可能發(fā)生的事件為不可能事件，記為216。 隨機(jī)事件的概率 概率的統(tǒng)計定義： 假定在相同條件下進(jìn)行 n次重復(fù)試驗，事件 A發(fā)生了 k次，當(dāng)試驗次數(shù) n趨向無窮時，發(fā)生頻率的極限定義為事件 A發(fā)生的概率，記為 P(A)。 ( ) l imnkPAn??? 事件間的關(guān)系與運(yùn)算 事件間的關(guān)系 如果事件 A包含事件 B，且事件 B包含事件 A，則稱事件 A與 B相等。 B A A B??或(1)包含與相等關(guān)系：如果事件 A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生，則稱事件 B包含事件 A，即： (2)事件的和： “ n個事件 A1， A2， … ， An中至少有一個發(fā)生”這一事件，稱為 Al， A2， … ， An的和事件。記為： 12 nkA A A Ank=1， 簡 記 為 ：(4)事件的差： “事件 A發(fā)生，但事件 B不發(fā)生”，稱為事件 A與 B的差。記為： AA A A A?? ? ?(6)互斥事件或互不相容事件：“如果事件 A和事件 B不能同時發(fā)生”，稱事件 A與 B是互不相容事件 (互斥事件 )，有 AB=216。 事件間的運(yùn)算規(guī)律 概率運(yùn)算的基本公式 概率的加法公式 設(shè) A與 B是任意兩個事件，則 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) 特別地： ( 1 ) ( ) 1 ( )A A P A P A??若 是 的 對 立 事 件 ， 則 ：(2)當(dāng) A與 B為互不相容事件： P(AB)=P(216。只要知道了各種原因 Ai發(fā)生條件下事件 B發(fā)生的概率，該事件 B的概率就可通過全概率公式求得。如擲骰子，出現(xiàn)的點數(shù) X是能夠一一列出來的 (X=1，X=2， … ， X=6)， X是一個離散型隨機(jī)變量。a可以是 ∞ ， b可以是 +∞ ，則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量。 離散型隨機(jī)變量的概率分布 分布律 對于離散型隨機(jī)變量 X，其概率分布就是指它的概率分布律，簡稱分布律。 判斷離散型隨機(jī)變量的條件 例題 , 1 , 2 , 3 , 。 (3) 0≤F(x)≤1。因此連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布就不能用分布律來描述。 例題：如何根據(jù)試驗得出系統(tǒng)分布密度函數(shù) 移 例題：如何根據(jù)試驗得出系統(tǒng)分布密度函數(shù) (續(xù) ) 連續(xù)型分布密度函數(shù)的性質(zhì) (判斷密度函數(shù)的條件 ) ( 1 ) ( ) 0( 2 ) ( ) 1fxf x d x f x x??????? ， 即 概 率 密 度 曲 線 () 與 軸 所 形 成 的 面 積 為 1 分布密度函數(shù) f(x)在任一點 xo處的函數(shù)值 f(xo)不是概率而是分布密度。如平均壽命 MTBF就是產(chǎn)品壽命的平均值，壽命方差是產(chǎn)品壽命與平均壽命之間的離差。 數(shù)學(xué)期望 (均值 ) 設(shè) X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為 P(X=xi)=pi (i=1， 2， …) ，如果和 ∑xipi存在，則稱 ∑xipi為 X的數(shù)學(xué)期望，記為 E(X)。無論是離散型隨機(jī)變量或連續(xù)型隨機(jī)變量，計算方差有一