【正文】 C39。, D39。, B39。 由圖可知，有二解，它們是等優(yōu)的。 將本系統(tǒng)的 10 個可取狀態(tài)用 10 個點(diǎn)表示，當(dāng)且僅當(dāng)某個可取狀態(tài)經(jīng)過本系統(tǒng)的運(yùn)算向量而仍為可取狀態(tài)，就連一條線，從而構(gòu)成一個圖 G。 可以看出，當(dāng)狀態(tài)向量維數(shù)增加，約束條件復(fù)雜時，用這種方法能方便求解。 做法如下： ( 表示不可取狀態(tài) ) )1,1,1,1(????????)0,0,0,1()1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(????????)1,1,1,0()0,1,1,0()1,0,1,0()1,1,0,0(???87 ………… )1,0,1,0(????????)0,0,0,1()1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(????????)1,0,1,1()0,0,1,1()1,1,1,1()1,0,0,1(???)1,0,1,1(????????)0,0,0,1()1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(????????????????88 用這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于使用計(jì)算機(jī)能求出所有的轉(zhuǎn)移過程，并比較出最優(yōu)者。 (0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0) 由于問題的要求，可取狀態(tài)經(jīng)過加法運(yùn)算后仍是可取狀態(tài)，這樣的運(yùn)算稱為 可取運(yùn)算 。 本系統(tǒng)的運(yùn)算向量為： (1, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 0) 一次過河就是一個狀態(tài)向量和一個運(yùn)算向量的加法。 如向量 (1, 1, 0, 0) 表示人和狗在船上。對本系統(tǒng)，可取狀態(tài)向量為： (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 0) (0, 0, 0, 1) (1, 1, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (1, 0, 1, 1) (0, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) 共 10 個，右邊 5 個正好是左邊 5 個的相反狀態(tài)。 這些向量稱為狀態(tài)向量。 84 第 2 題 將人、狗、雞、米依次用四維向量中的四個分量表示： 當(dāng)一物在此岸時，相應(yīng)分量記為 1，否則記為 0。問小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上學(xué)時小狗也往返在他們之間，問當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時小狗在何處？ 83 2. 模仿商人過河問題中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，做下面這個眾所周知的智力游戲： 人帶著狗、雞、米過河，船除需要人劃之外，至多能載狗、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在場時狗要吃雞、雞要吃米。 (4) 一男孩和一女孩分別在離家 2 km和 1 km且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時放學(xué)后分別以 4 km/h 和2 km/h 的速度步行回家。甲乙之間有一中間站丙，某人每天在隨機(jī)的時刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn) 100天中約有 90天到達(dá)甲站，約有 10天到達(dá)乙站。為什么 ? (2) 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)行下一輪，直至比賽結(jié)束。次日早 8:00沿同一路徑下山，下午 5:00回到旅店。 81 練習(xí)題 1. （ P23， 9）為了培養(yǎng)想像力、洞察力和判斷力，考察對象時除了從正面分析外，還常常需要從側(cè)面或反面思考。證明：途中至少存在一點(diǎn)，此人在兩天中同一時刻到達(dá)該處。 若“妻子”在這一天像往常一樣繼續(xù)開車到火車站（到火車站時刻為 5:30）然后回家，那么他們就會在平時一樣的時刻到家，這說明提前的 10分鐘是沒有去車站省下的，即相遇時，妻子距火車站還有 5分鐘的路程，因此相遇時刻為 5:25，這說明此人已步行了 25分鐘。 培養(yǎng)想像力的兩個例子 79 在考慮問題時，實(shí)際上忽視了另一個人的存在。路上，他遇到了開車來接他的妻子，由此比平時早 10分鐘 到家。 76 數(shù)學(xué)模型的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 相似性 能夠真實(shí)反映所研究對象的本質(zhì)特征和運(yùn)動規(guī)律 簡明性 結(jié)構(gòu)簡明，便于理論分析、邏輯推理和數(shù)值計(jì)算 可檢驗(yàn)性 能有效地說明和解釋實(shí)際問題，并能檢驗(yàn)其可靠程度 77 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù) 技術(shù)大致有章可循 藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則 想像力 洞察力 判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評價(jià)、改進(jìn)別人做過的模型 親自動手，認(rèn)真做幾個實(shí)際題目 經(jīng)驗(yàn) 直覺 靈感 …… 廣博的知識 78 例 1 某人家住 T 市，在外地工作，平時總是乘坐下午 5:30 到達(dá) T 市的火車回去，他的妻子準(zhǔn)時在車站接他。 主要是從定性研究朝定量化方向發(fā)展。 主要是建立和完善這些模型。 主要是研究優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制等問題。當(dāng)根據(jù)某物理場的信息估計(jì)偏微分方程中的某些參數(shù)時，如場的存在范圍或邊界條件，也遇到了數(shù)學(xué)物理反問題的適定性問題，這些數(shù)學(xué)建模的理論問題有待于在專門的問題中研究。 ? 在建模時，能否用數(shù)學(xué)工具描述某一問題的特征是建模的前提。 ? 模型結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換 ? 若某種在理論上很簡單，但求解困難，甚至無法求解，或者某種模型，要求具有某種數(shù)據(jù)，而這種數(shù)據(jù)不具備或不易得到，只有改用其他形式的模型，即改變模型的結(jié)構(gòu)。 ? 又如在求解數(shù)學(xué)規(guī)劃時，若要求目標(biāo)函數(shù)的極大值，而真正解不一定能找到時，則增加約束后求得的可行解一般是偏低的，稱之為保守解或悲觀解；去掉一些約束求得的解往往偏高，稱之為冒進(jìn)解或樂觀解。 在隨機(jī)性模型中，常采用一些熟悉的概率分布函數(shù)，如正態(tài)分布、指數(shù)分布等去代替不太好處理的概率分布函數(shù)。 ? 改變變量之間的函數(shù)關(guān)系 ? 當(dāng)處理非線性問題遇到困難或建模精度要求不高時，常將非線性函數(shù)在某一點(diǎn)處展開（ Taylor展開），取前兩項(xiàng)作為近似表達(dá)式，即用線性關(guān)系逼近非線性關(guān)系式。 ? 合并一些變量 ? 在構(gòu)造模型時，將一些性質(zhì)相同或相似的變量合并成少數(shù)有代表性的變量，盡管這樣做降低了模型的精度，但只要能滿足建模的基本要求，則是可行的。 67 數(shù)學(xué)建模的全過程 現(xiàn)實(shí)對象的信息 數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實(shí)對象的解答 數(shù)學(xué)模型的解答 表述 求解 解釋 驗(yàn)證 (歸納 ) (演繹 ) 表述 求解 解釋 驗(yàn)證 根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題 選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答 將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對象 用現(xiàn)實(shí)對象的信息檢驗(yàn)得到的解答 實(shí)踐 現(xiàn)實(shí)世界 數(shù)學(xué)世界 理論 實(shí)踐 68 ? 除去一些變量 ? 在機(jī)理分析中和在一定的條件下，常將描述分布參數(shù)系統(tǒng)的偏微分方程，簡化為集中參數(shù)的常微分方程。 64 模 型 構(gòu) 成 用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題的內(nèi)在規(guī)律 發(fā)揮想像力 使用類比法 盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 建立包含常量、變量等的數(shù)學(xué)模型 模 型 求 解 各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù) 65 對求解結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析 如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對數(shù)據(jù)的靈敏性及穩(wěn)定性分析等 模型 分析 模型 檢驗(yàn) 與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性 模型 應(yīng)用 應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善 66 ? 數(shù)學(xué)模型沒有固定的模式，也不要求都要經(jīng)過上述這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么分明，因此建模不要拘泥于形式上的按部就班，而應(yīng)采取靈活的表達(dá)形式。 真實(shí)性原則： 假設(shè)條件要符合情理，簡化帶來的誤差應(yīng)滿足實(shí)際問題所能允許的誤差范圍。 數(shù)學(xué)建模的基本要求 61 數(shù)學(xué)建模的一般步驟