數(shù)學(xué)模型mathematicalmodel-資料下載頁(yè)
2025-10-02 17:01本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】英、美等現(xiàn)代工業(yè)國(guó)家。在短短幾十年的歷史瞬間輻。射至全球大部分國(guó)家和地區(qū)。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和數(shù)學(xué)（建模）實(shí)驗(yàn)課程等）的開(kāi)展，這門(mén)課越來(lái)越得到重視，也深受廣大學(xué)生的喜愛(ài)。數(shù)學(xué)模型來(lái)溝通。的需求，一到工作崗位就能創(chuàng)造價(jià)值。報(bào)告方式，課堂教學(xué)方式，課外教學(xué)方式等。如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)。實(shí)世界中的事物或?qū)ο?。擴(kuò)散過(guò)程、生產(chǎn)銷(xiāo)售過(guò)程、計(jì)劃決策過(guò)程等。系統(tǒng)的觀點(diǎn)能讓人們更好地認(rèn)識(shí)和把握事物。統(tǒng)”等都稱(chēng)為事物的原型。特性，毫不涉及飛機(jī)的實(shí)體。模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。將原型的尺寸按比例縮小或放大，主要追求外觀上的逼真。主要指科技工作者為一定目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型。模擬實(shí)驗(yàn)，間接地研究原型的某些規(guī)律。甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，用x表示船速，y表示水速，
【正文】 刻在變化，因此，順著問(wèn)題正面敘述的角度看，條件不足。 培養(yǎng)想像力的兩個(gè)例子 79 在考慮問(wèn)題時(shí)，實(shí)際上忽視了另一個(gè)人的存在。這就是“妻子”，而“妻子”每天從家到火車(chē)站的時(shí)刻表是不變的，這就找到了一個(gè)“參照系”，轉(zhuǎn)而站在“妻子”的角度觀察問(wèn)題。 若“妻子”在這一天像往常一樣繼續(xù)開(kāi)車(chē)到火車(chē)站（到火車(chē)站時(shí)刻為 5:30）然后回家，那么他們就會(huì)在平時(shí)一樣的時(shí)刻到家，這說(shuō)明提前的 10分鐘是沒(méi)有去車(chē)站省下的，即相遇時(shí)，妻子距火車(chē)站還有 5分鐘的路程，因此相遇時(shí)刻為 5:25，這說(shuō)明此人已步行了 25分鐘。 80 例 2 某人第一天上午 8:00由 A 處出發(fā)，于下午 6:00到達(dá) B 處，第二天上午 8:00他又由 B 處出發(fā)仍沿原路返回，并于下午 6:00回到 A 處。證明：途中至少存在一點(diǎn)，此人在兩天中同一時(shí)刻到達(dá)該處。 將問(wèn)題設(shè)想成甲、乙兩人在同一天分別從 A、 B 兩地相向而行，兩人必在途中某處相遇，則結(jié)論的正確性就十分明顯了。 81 練習(xí)題 1. （ P23， 9）為了培養(yǎng)想像力、洞察力和判斷力，考察對(duì)象時(shí)除了從正面分析外，還常常需要從側(cè)面或反面思考。試盡可能迅速地回答下面的問(wèn)題： (1) 某甲早上 8:00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午 5:00到達(dá)山頂并留宿。次日早 8:00沿同一路徑下山，下午 5:00回到旅店。某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn)。為什么 ? (2) 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)行下一輪，直至比賽結(jié)束。問(wèn)共需進(jìn)行多少輪比賽？如果是 n 支球隊(duì)比賽呢？ (3) 甲、乙兩站之間有電車(chē)相通，每隔 10分鐘甲、乙兩站相互發(fā)一趟車(chē)，但發(fā)車(chē)時(shí)刻不一定相同。甲乙之間有一中間站丙，某人每天在隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過(guò)丙站的那趟車(chē)，結(jié)果發(fā)現(xiàn) 100天中約有 90天到達(dá)甲站，約有 10天到達(dá)乙站。問(wèn)開(kāi)往甲乙兩站的電車(chē)經(jīng)過(guò)丙站的時(shí)刻表是如何安排的。 (4) 一男孩和一女孩分別在離家 2 km和 1 km且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以 4 km/h 和2 km/h 的速度步行回家。一小狗以 6 km/h 的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問(wèn)小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)小狗也往返在他們之間，問(wèn)當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處？ 83 2. 模仿商人過(guò)河問(wèn)題中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，做下面這個(gè)眾所周知的智力游戲： 人帶著狗、雞、米過(guò)河，船除需要人劃之外，至多能載狗、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)狗要吃雞、雞要吃米。 試設(shè)計(jì)一個(gè)安全渡河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少。 84 第 2 題 將人、狗、雞、米依次用四維向量中的四個(gè)分量表示： 當(dāng)一物在此岸時(shí)，相應(yīng)分量記為 1，否則記為 0。 如向量 (1, 0, 1, 0) 表示人和雞在此岸，狗和米在彼岸。 這些向量稱(chēng)為狀態(tài)向量。 凡系統(tǒng)可以允許存在的狀態(tài)稱(chēng)為可取狀態(tài)。對(duì)本系統(tǒng)，可取狀態(tài)向量為： (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 0) (0, 0, 0, 1) (1, 1, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (1, 0, 1, 1) (0, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) 共 10 個(gè)，右邊 5 個(gè)正好是左邊 5 個(gè)的相反狀態(tài)。 85 將船的依次運(yùn)算也用向量表示： 當(dāng)一物在船上時(shí)，相應(yīng)分量記為 1，否則記為 0。 如向量 (1, 1, 0, 0) 表示人和狗在船上。 這些向量稱(chēng)為 運(yùn)算向量 或 決策向量 。 本系統(tǒng)的運(yùn)算向量為： (1, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 0) 一次過(guò)河就是一個(gè)狀態(tài)向量和一個(gè)運(yùn)算向量的加法。在加法運(yùn)算中，對(duì)每一分量采用二進(jìn)制。 (0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0) 由于問(wèn)題的要求，可取狀態(tài)經(jīng)過(guò)加法運(yùn)算后仍是可取狀態(tài)，這樣的運(yùn)算稱(chēng)為 可取運(yùn)算 。 86 根據(jù)上述假設(shè)，人、狗、雞、米過(guò)河問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：從狀態(tài) (1, 1, 1, 1) 經(jīng)過(guò)奇數(shù)次運(yùn)算變?yōu)闋顟B(tài) (0, 0, 0, 0) 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移過(guò)程。 做法如下： ( 表示不可取狀態(tài) ) )1,1,1,1(????????)0,0,0,1()1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(????????)1,1,1,0()0,1,1,0()1,0,1,0()1,1,0,0(???87 ………… )1,0,1,0(????????)0,0,0,1()1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(????????)1,0,1,1()0,0,1,1()1,1,1,1()1,0,0,1(???)1,0,1,1(????????)0,0,0,1()1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(????????????????88 用這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于使用計(jì)算機(jī)能求出所有的轉(zhuǎn)移過(guò)程，并比較出最優(yōu)者。當(dāng)所有的轉(zhuǎn)移過(guò)程都出現(xiàn)循環(huán)時(shí)，則問(wèn)題無(wú)解。 可以看出，當(dāng)狀態(tài)向量維數(shù)增加，約束條件復(fù)雜時(shí)，用這種方法能方便求解。 另外，人、狗、雞、米問(wèn)題還可以用圖論的方法求解。 將本系統(tǒng)的 10 個(gè)可取狀態(tài)用 10 個(gè)點(diǎn)表示，當(dāng)且僅當(dāng)某個(gè)可取狀態(tài)經(jīng)過(guò)本系統(tǒng)的運(yùn)算向量而仍為可取狀態(tài)，就連一條線(xiàn)，從而構(gòu)成一個(gè)圖 G。 ( 1 , 1 , 1 , 1 )( 1 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 0 )( 1 , 0 , 1 , 1 )( 1 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 0 )( 0 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 1 )( 0 , 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 , 1 )89 問(wèn)題變?yōu)樵趫D G 中找一條從頂點(diǎn) (1, 1, 1, 1) 到 (0, 0, 0, 0) 的路徑，每條路徑就是一個(gè)解。 由圖可知，有二解，它們是等優(yōu)的。 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 0 )( 1 , 0 , 1 , 1 )( 1 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 0 )( 0 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 1 )( 0 , 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 1 )( 1 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 0 )( 1 , 0 , 1 , 1 )( 1 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 0 )( 0 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 1 )( 0 , 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 , 1 )90 O x y A B C D ?f(?) 表示 A39。, B39。與地面距離之和 g(?) 表示 C39。, D39。與地面距離之和 則由三點(diǎn)著地，有 A39。 C39。 ???????00)()( gf0)(,0)(, ??? ???? fg0)0(,0)0(,0 ??? fg?A B C D ,0)0()0()0( ),()()( ??? gfhgfh 則???? ,0)()()( ?? ??? gfh而
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