數(shù)學分析函數(shù)極限性質-展示頁
2024-09-12 09:06本頁面
【正文】 理 0)( xxf 在設 的某空心右鄰域 )( 0xU ?? 有定 作為一個例題 , 下面給出定理 的另一種形式 . 義 . Axfxx ??? )(lim 0那么的充要條件是任給嚴格遞減 ,),(}{ 000 xxxUx nn ?? ? ?的 .)(lim Axf nn ???必有例 2 0)( xxf 在設 的某空心右鄰域 ),( 0 ?xU ?? 上有定 Axfxx ??? )(lim000{ } ( ) , ,li m ( ) .nnnnx U x x xf x A???? ???? ? ???任給必有返回 后頁 前頁 證 必要性應該是顯然的 . 下面我們證明充分性 . ,0 時假若 ?? xx f(x) 不以 A 為極限 . 則存在正數(shù) 。)(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??gfgf ?? , 在點 x0 的極限也 存在 , 且 都存在 , 則 ,0)(lim)3(0?? xgxx又若 在點 x0 的極限也存在 , gf則定理 （四則運算法則） 若 ,)(lim0xfxx ? )(lim0xgxx ?.)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx????并有 返回 后頁 前頁 這些定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應定理 , 這 就可以知道這些定理是顯然的 . 里將證明留給讀者 . 在下一節(jié)學過歸結原則之后 , 返回 后頁 前頁 二、范例 a r c t a n 1lim lim a r c t a n limx x xx xxx? ?? ? ?? ? ????π 0 0 .2??例 1 .a r c t a nlim x xx ???求π 1lim a r c t a n , lim 0 ,2xx x x? ? ? ? ???解 因 為 所 以返回 后頁 前頁 例 2 .1l i m 0 ??????? xxx求有時又當 ,0?x因此由迫斂性得 。)( ??? Axf有時而當 ,||0 20 ???? xx .)( ??? Bxg0,? ? 分別存在正數(shù) 12,??使當 010 | |xx ?? ? ?時 , 有 返回 后頁 前頁 滿足時則當令 ,||0,},m i n { 021 ???? ???? xx,)()( ?? ????? BxgxfA所以證得是任意正數(shù)因為從而有 ,.2 ???? BA.BA ?返回 后頁 前頁 且設 ,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??定理 （迫斂性） 內(nèi)有的某個空心鄰域在 )( 00 xUx ?).()()( xgxhxf ??.)(li m0Axhxx ??那么證 因為 所以對于任意,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??有時當存在 ,||0,0,0 0 ??? ????? xx( ) ,A f x A??? ? ? ?( ) .A g x A? ? ? ?返回 后頁 前頁 .)()()( ?? ?????? AxgxhxfA再由定理的條件，又得 這就證明了 0)( xxh 在點 的極限存在，并且就是 A . 返回 后頁 前頁 。返回 后頁 前頁
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