【正文】 , ]ab并 非 每 個 函 數(shù) 在 上 都 可 積 . 在 近 似 過 程中 ,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時 ,顯然要求 12{ , , , }n? ? ?關(guān) , 還 與 有 關(guān) ,因此定積分既不是數(shù) 關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： f (x)在每個小區(qū)間 [xi–1, xi] 上變化不大 , 這相當(dāng)于 要求 f (x) 有某種程度上的連續(xù)性 . 注 3 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， ?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(注 4 定義中區(qū)間的分法和 i? 的取法是任意的 . 而與積分變量的字母無關(guān) .,0)( ?xf ? ?ba Adxxf )( 曲邊梯形的面積 ,0)( ?xf ? ??ba Adxxf )( 曲邊梯形的面積的負(fù)值 1A2A3A4A三、定積分的幾何意義 積取負(fù)號．軸下方的面在軸上方的面積取正號；在數(shù)和．之間的各部分面積的代直線的圖形及兩條軸、函數(shù)它是介于xxbxaxxfx?? ,)(?? ??4321)( AAAAdxxfba? ?? ? ?用定義求定積分 1220 10d li m ΔniiTiS x x x?? ??? ??2( ) [ 0 1 ]f x x? 在 ， 上 連 續(xù) ， 故解 1 20 ?例 1 存在 . 為方便起見 ,令 ,2,1,11210: ?? ??????? nnnnnT n? ? ? ?1 1ma x Δ 0,ni inT x nn＝??? ? ? ?,2,1,11 ninininii ???????? ?????取則 此時黎曼和的極限化為 nniSnin11 21???????? ??數(shù)列的極限 . nniS nin11l i m12?????????? ??? ???????ninin123 11lim? ? ? ? .316121l i m3 ?????? nnnnn于是 注 這里利用了連續(xù)函數(shù)的可積性 .因為可積 ,所 1 .iin???以可取特殊的分割 (等分 )和特殊的介點(diǎn) 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 小結(jié) １．定積分的實質(zhì) ：特殊和式的極限． ２．定積分的思想和方法： 分割 化整為零 求和 積零為整 取極限 精確值 —— 定積分 求近似以直（不變）代曲（變） 取極限 一 、 利用定積分的定義計算由拋物線 ,12 ?? xy 兩直線)(, abbxax ??? 及橫軸所圍成的圖形的面積 . 二 、 利用定積分的定義計算積分 ? baxdx ， )( ba ? . 練 習(xí) 題 一、 a b a b ? ? ? ) ( 3 1 3 3 . 二、 ) ( 2 1 2 2 a b ? . 練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 2 顯然 ,按定義計算定積分非常困難 ,須尋找新的途徑計算定積分 .在本節(jié)中 ,介紹牛頓－萊布尼茨公式 ,從而建立定積分與不定積分之間的聯(lián)系 ,簡化定積分的計算 . 167。 ).()()(d)()2( aFbFxFxxf baba ????證 因 f 在 [a, b] 上一致連續(xù) , 則 0 , 0 ,??? ? ? ?, [ , ] , | | ,x x a b x x ?? ?? ? ??? ? ?當(dāng) 時.|)()(| ?????? xfxf任取 又 F 在 1[ , ] , 1 , 2 , , .i i ix x i n? ??? ],[ 1 ii xx ?上滿足 拉格朗日中值定理條件 , ],[ 1 iii xx ??? ?,)()()()( 1 iiiiii xfxFxFxF ?? ?? ???? ?于是 1() Δ ( ( ) ( ) )niiif x F b F a?????, ( ) d ( ) ( ) ( ) .b baa f x x F b F a F x? ? ??因 此111() Δ ( ( ) ( ) )nni i i iiif x F x F x? ???? ? ???11() Δ () Δnni i i iiif x f x????????| ( ) ( ) | Δ Δ ( ) .nni i i if f x x b a? ? ? ?? ? ? ? ?注 1 以后將證明 , 若 f 在 [a, b]上連續(xù) , 則 f 在 [a, b] 注 2 條件 (i)不是必要條件 , 以后將舉例說明 , 存在 例 2 na xx?求解 ).(111d 111????????? nnbanban abnnxxx上必有原函數(shù) F (x). 因此條件 (ii) 是 多余的 . 函 數(shù) f 在 [a, b] 上有間斷點(diǎn) , 但 f 在 [a, b]上仍可 積 . 例 3 .1d210 2? ? xx求解 1 12 200 2d π πar c si n 0 .661x xx? ? ? ???例 4 .d4202? ? xxx求解 .38)4(31d420232202 ?????? xxxx例 5 .111l i m1???? ?nin nni求解 111lim1nn i i nn?? ???易見 是函數(shù)1( ) [ 0 , 1 ]1fx x? 在11: 0 1 ,nnTnn?? ? ? ?上黎曼和的極限 .其中分割和介點(diǎn)分別為 1[ , ] , 1 , 2 , , .ii i i inn n n??? ? ?用牛頓 — 萊布尼茨公式還可以求一些和式的極限 . 因此 ?? ?????? ??120111 1 1 1l i m d ( d )11nn ixxi n x xn例 6 .)1()21)(11(lim1nn nnnn ?????? ??????求解 令 112l n ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnnan n n??? ? ? ?????10l n ( 1 ) l n ? ? ?11 l n 1 ,niinn????10lim ln ( 1 ) dnn a x x?? ???因此 112li m ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) nnnn n n????? ? ?????則 10[ ( 1 ) ln ( 1 ) ( 1 ) ]x x x? ? ? ? ?2 ln 2 1 .??lime n na???2 ln 2 1 4e.e???例 7 求 .)1si nc o s2(20?? ?? dxxx原式 20[ 2 sin c o s ]x x x ?? ? ?.23 ???例 8 設(shè) , 求 . ????????215102)(xxxxf? 20 )( dxxf解 解 ? ?? ?? 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf在 ]2,1[ 上規(guī)定當(dāng) 1?x 時， 5)( ?xf , ? ??? 10 21 52 dxxdx原式 .6? xyo 1 2例 9 求 .},m a x {2 2 2?? dxxx解 由圖形可知 },m ax {)( 2xxxf ?,21100222?????????????xxxxxx??? ???? ? 21 2100 2 2 dxxxdxdxx原式 .211?xyo2xy?xy?1 22?例 10 求 解 .112 dxx???當(dāng) 0?x 時， x1 的一個原函數(shù)是 ||ln x , dxx??? 12 112ln | |x???.2ln2ln1ln ????例 1 1 計算曲線 xy s i n? 在 ],0[ ? 上與 x 軸所圍 成的平面圖形的面積 . 解 面積 xyo ?? ?? 0 s i n xdxA0c o s x???.2?作業(yè) 習(xí)題 2 167。i i iM f x x x x i n?? ? ?稱 為 f 關(guān)于分割 T 的 下和 ,其中 1() Δniiis T m x?? ?? ?1in f ( ) | [ , ] , 1 , 2 , 。 4 定積分的性質(zhì) 一、定積分的性質(zhì) 本節(jié)將討論定積分的性質(zhì) ,包括定積分 的線性性質(zhì)、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、積 分不等式與積分中值定理 , 這些性質(zhì)為定 積分研究和計算提供了新的工具 . 二、積分中值定理 [ , ] ( ) d ( ) d .bbaaa b k f x x k f x x在 上也可積，且 ???證 ( ) d .baJ f x x記 ? ? [ , ] ,f a b由 在 上可積 故一、定積分的性質(zhì) 10, 0, [ , ] ,i i iT x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時, 對一切1() Δ .1niiif x Jk???????從而 性質(zhì) 1 k 為常數(shù) , 則 k f 若 f 在 [ a,b ] 上可積， 11() Δ () Δnni i i iiik f x k J k f x J????? ? ???因此 [ , ] ,k f a b在 可 積 .d)(d)( ?? ? baba xxfkxxkf且性質(zhì) 2 , [ , ] ,f g a b若 在 上可積 [ , ]f g a b則 在 上?可積 , 且 ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?證 12 ( ) d , ( ) d .bbaaJ f x x J g x x ?? ? ? ???記 于是 0 ,10, [ , ] , 1 , 2, , ,i i iT x x i n? ? ? ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時，.1k k ? ????11() Δ ,2niiif x J ?????? 21() Δ .2niiig x J ??????從而 121[ ( ) ( ) ] Δ ()ni i iif g x J J???? ? ??1211() Δ () Δnni i i iiif x J g x J????? ? ? ???.22?? ?? ? ?因此， f 177。2fiiTTx M???存 在 分 割 使 又 存 在 分??? ? ??Δ .2giiTTx M??割 ， 使???? ??( ( )