【正文】 b n ?設(shè)對于任意 0 , ,nN? ??當(dāng) 時 有| | , | |1 | | 1nna a b bMa??? ? ? ??? ，證明 (1) l i m , l i m ,nnnna a b b? ? ? ???設(shè) 0 , ,N??? 存 在,2|||||||| ?????? bbaaab nnn?由 的任意性 , 證得 .limlimlim nnnnnnn bababa ?????? ??證明 (3) ,1nnnnbaba ??因為 由 (2), 只要證明 .l i m11l i mnnnn bb ?????,0?b由于 據(jù)保號性 , , 11 時當(dāng) NnN ??|||| abababbaabba nnnnnn ?????于是 ||| | .2nbb ?又因為 22l i m , , ,nn b b N n N?? ? ? ?當(dāng) 時時，當(dāng)取 NnNNN ?? },m ax{ 2121 1 2nnnnbb bbb b b b b??? ? ? ? ? ，即 11l i m .nnbb???liml i m .limnnnn nnnaabb???????所 以,22?bbb n ??七、一些例子 例 2 用四則運算法則計算 11 1 011 1 0li m ,mmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?, 0 .mkm k a b??其 中(1) 當(dāng) m=k 時 , 有 ? ?1l i m 0 0 ,n n ? ??? ??依 據(jù) 分別得出 : 解 mmmmmmmmnnbnbnbbnananaa111111lim01110111?????????????????.mmba?11 1 011 1 0limmmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?(2) 當(dāng) m k 時 , 有 1 1 011 1 011 1 11l i m l i m1 1 1mm mmkmnnkk kka a a an nnn b b b bn nn? ??? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?.00 ???kmba11 1 011 1 0limmmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?,0, .mmamkbmk????? ??，原 式 =所以 例 3 0, l i m ,nnna a a????設(shè) li .naa?求 證證 0,na ?由于 根據(jù)極限的保不等式性 , 有 .0?a( 1 ) 0 ,a ? 時 有| 0 | 。 任給 , 若在 之外至多只有 0?? )。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 二、一個經(jīng)典的例子 樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去 . 我們把每天截下部分 (或剩下部分 ) 的長度列出： 第一天截下 ,21 第二天截下 21 ,2 第 n天截下 1 ,.2n 這樣就得到一個數(shù)列 : 古代哲學(xué)家莊周所著的 《 莊子 ； 。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結(jié)果。 所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。無限個數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為 “ 部分和 ”的極限，就是借助于極限的思想方法，從有限來認(rèn)識無限的。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。,),(),(,21落在其外個至多只有只有有限個全位于這個鄰域內(nèi)項以后的所有項第總存在項鄰域?qū)θ我饨o定的NxxN，xaaaONNN?????? ????.??? ?????? axa，ax nn 得由定義3?Nx{ an } 的有限多項 , 則稱數(shù)列 { an } 收斂于 a . 這樣 , { an } 不以 a 為極限的定義也可陳述為 :存在 ,00 ??之外含有 { an } 中的無限多 00()aa??使 得 在 ，??不以任何實數(shù) a 為極限 . 以上是定義 1 的等價說法 , 寫成定義就是 : 定義 139。n n n nn n na b a b? ? ? ? ? ?? ? ?(2) ? ? ,l i ml i ml i m nnnnnnn baba ?????? ???當(dāng) nb 為常數(shù) c 時 , 。他還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理?？挛鞯臉O限定義至今還在普遍使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也建立在較為堅實的基礎(chǔ)上。 收斂數(shù)列的性質(zhì) : 保號性、唯一性、“兩邊夾法則”、有界性 。后來維爾斯特拉斯將 ε和 δ聯(lián)系起來，完成了 ε－ δ方法。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父親交往，曾預(yù)言柯西日后必成大器。 3 數(shù)列極限存在的條件 一、單調(diào)有界定理 二、柯西收斂準(zhǔn)則 理論中占有非常重要的地位 . 極限 ?其中 ,判斷數(shù)列是否收斂 ,這在極限 即極限的存在性問題 。, 不以 }{ na個偶數(shù)項（奇數(shù)項） . .0!lim ??? na nn例 6 證明 解 ,0,1|| ??? ? 時a? ?? ?| | 1|| ,| | !aaNa???取 當(dāng) Nn ? 時， ? ? ? ?? ? ? ?| | | || | | | | | | |0! 1 2 | | | | 1a n ana a a a an a a n?????? ?? ?||| | | |.| | !aaaan?? ? ?從而 .0!l im ??? na nn1 0 | | 1 [ ] ,aN?? ? ?當(dāng) 時 ， 取,1! ??? nnan沒有定義 . 2) 任給正數(shù) , 限制 由 ? .1??,)a r c s i n(s i n1s i n01s i n ?? ???? nn可知只需取 注： 這里假定 0 ? 1 是必要的 , 否則 arcsin ? 便 證 例 7 證明 .01s i nlim ??? nn 1) 任給正數(shù) ,? 1 , N n N???取 當(dāng) 時，.101sin ???? nn1[ ] .a r c sinN ??例 8 .lim),( CxCCx nnn ?? ??證明為常數(shù)設(shè)證 Cxn ? CC ?? ,成立??,0??任給所以 , 0?,n對于一切自然數(shù).l i m Cx nn ???說明 :常數(shù)列的極限等于同一常數(shù) . 小結(jié) : 用定義證數(shù)列極限存在時 ,關(guān)鍵是任意給定 尋找 N,但不必要求最小的 N. ,0??作業(yè) 習(xí)題 4 一、惟一性 167。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)研究工作中起著重要作用。整個數(shù)學(xué)分析自始至終都在討論各種極限的存在性以及求法等問題，極限論可以看成是分析學(xué)與代數(shù)學(xué)的主要區(qū)別。 Chapt 2 數(shù)列極限 極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù) )為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。 與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產(chǎn)物。對任何一個圓內(nèi)接正多邊形來說，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變而不是質(zhì)變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就 “ 變 ” 成圓，多邊形面積便轉(zhuǎn)化為圓面積。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分