函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及其應用-展示頁
2025-06-27 23:47本頁面
【正文】 于連續(xù)函數(shù)；則在上一致收斂于.例9 證明：在內(nèi)閉一致收斂.證明 顯然，易證當充分大時單調(diào)遞減且，每個及均在上連續(xù)，故由Dini定理知在上一致收斂于0，于是，由狄利克雷判別法知原級數(shù)在上一致收斂.所以，由的任意性知，原級數(shù)在上內(nèi)閉一致收斂(吉米多維奇，1987)[8] .4 冪級數(shù)的應用 冪級數(shù)是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)，下面我們以冪級數(shù)為例，說明函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性在計算中的應用． 冪級數(shù)的定義定義5 由冪函數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù)，稱為冪級數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)，從某種意義上講，它可以看作是無窮多項式函數(shù)的延伸. 冪級數(shù)的應用冪級數(shù)是高等數(shù)學中的一個非常重要的內(nèi)容，其簡單的結(jié)構(gòu)形式和逐項求導、逐項求積的優(yōu)良性質(zhì)使之成為一種有效的計算工具，它能應用于近似計算、積分計算、數(shù)項級數(shù)求和、性質(zhì)最好的級數(shù)形式，所以用它解題往往思路清晰、條理清楚(趙瑜,2009)[9]. 冪級數(shù)在近似計算中的應用我們可以利用冪級數(shù)展開式進行近似計算,即在展開式有效的區(qū)間上,函數(shù)值可以近似的利用這個級數(shù)按精確度要求計算出來(同濟大學應用數(shù)學系，2002)[10].例10 計算積分 的近似值，.解 由于，則它在積分區(qū)間上連續(xù).展開被積函數(shù)，有 ，在區(qū)間上逐項積分，得 .因為第四項的絕對值 ，所以取前三項的和作為積分的近似值： ，算得 . 冪級數(shù)在計算積分中的應用當?shù)脑瘮?shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來時，,，要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級數(shù)，且積分區(qū)間必須在冪級數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用冪級數(shù)的逐項積分性質(zhì)來計算所求積分的值.例11 證明： ．證明 因為 ，所以 =，． 冪級數(shù)在求極限中的應用求函數(shù)極限的方法很多，冪級數(shù)法也是其中之一.例12 求的值.解 因為 ， ， 所以． 冪級數(shù)在數(shù)項求和中的應用一致收斂的冪級數(shù)的性質(zhì)：冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導與逐項求積分，可用于計算冪級數(shù)的和（裴禮文，1983）[11].例13 求．解 當 時，設 =.設， 則 ，且 ,從而 ．當時， ,此時，.令，可得 . 冪級數(shù)在歐拉公式推導中的應用例14 試用冪級數(shù)的展開式來推導歐拉公式.解 當為實數(shù)時，由指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式知,因為 所以 ,即 , 在上式中以置換可得 , 再由兩式聯(lián)立，解得： . 冪級數(shù)在求導中的應用例15 求在處的階導數(shù).解 因為函數(shù)在處的泰勒級數(shù)為，所以可先將用間接方法展成的冪級數(shù)，然后從的系數(shù)中解出，進行兩次積分：則，即 . 冪級數(shù)在概率組合計算中的應用定義6 設是一個數(shù)列，若存在一個函數(shù)，使得成立，則稱為數(shù)列的生成函數(shù).例16 將一顆骰子連續(xù)投擲10次，問：出現(xiàn)20點的概率是多少？解 設表示共出現(xiàn)點的方式的總數(shù)，：,因為所以的展開式中項的系數(shù)為,于是出現(xiàn)20點的概率為:. 冪級數(shù)在證明不等式中的應用冪級數(shù)是表達函數(shù)的重要工具，因此也可應用于證明不等式(張淑輝，2005)[12].例17 證明不等式.證明 因為 ,而 ，,由于 ，故 . 用冪級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù)例18 求連續(xù)函數(shù)的原函數(shù).解 的原函數(shù)為，.，.令，有對冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項求積分，可得， 另外，我們要在實際應用中善于發(fā)現(xiàn)，充分利用，以求最好的解決問題. 總結(jié) 數(shù)學作為一種創(chuàng)造性活動不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美，18世紀是分析的時代，數(shù)學進入到更高層次的研究，函數(shù)項級數(shù)是數(shù)學分析中的重要組成部分，對于函數(shù)項級數(shù)的研究已經(jīng)有了非常豐富的研究資料，并且其應用領(lǐng)域越來越廣泛，在數(shù)學本身以及自然現(xiàn)象、工程技術(shù)，、給出了函數(shù)項級數(shù)的概念、性質(zhì)、函數(shù)列及其一致收斂性、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性，
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