【正文】 ( 0 ) | e .nxnf x f n x ???222 e nxnx ? [0,1]容易驗證 在 上只有惟一的極大值點 012x n? , 因此為最大值點 . 于是 12su p | ( ) ( ) | e2nnf x f x ?? ? ? ? ?根據(jù)余項準則知該函數(shù)列在 [0,1] 上不一致收斂 . 注 222{ ( ) e }nxnf x n x ?? 不一致收斂是因為函數(shù)列余 的增大一致趨于 0 0x ? n項的數(shù)值在 附近不能隨 (見圖 134), 因此對任何不含原點的區(qū)間 [ , 1 ] ( 0aa?222{ ( ) e }nxnf x n x ??在該區(qū)間上一致收斂于 0. 1),?圖 13 – 4 0101, ( ) 0( ) .0 1 ,1 1 1sup | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ,2sup | ( ) ( ) | 0 ,{ ( ) }nnnxnxnx f x nxf x f x f fnnf x f xfx????? ? ???? ? ? ??解 對 任 意 給 定 的(1) 當 時 由 于不 趨 于故 在 (0,1) 上 不 一 致 收 斂 于 0.22()1nnxfxnx???例 5 討 論 函 數(shù) 列 在 區(qū) 間 (0,1) 和(1, + ) 上 的 一 致 收 斂 性 .2 2 2 211,11| ( ) ( ) | .11s up | ( ) ( ) | 0 , .{ ( ) }nnxnxnx nxf x f xn x n x nx nf x f x nnfx? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??(2) 當 時故則 在 (1 ,+ ) 上 一 致 收 斂 于 0.二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性 { ( ) }nu x E設(shè) 是 定 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個 函 數(shù) 列 , 表 達 式12( ) ( ) ( ) , ( 9 )nu x u x u x x E? ? ? ? ?稱為定義在 E上的 函數(shù)項級數(shù) , 1()nnux???簡記為 或( ) .nux 稱?1( ) ( ) , , 1 , 2, ( 10 )nnkkS x u x x E n?? ? ??為函數(shù)項級數(shù) (9)的部分和函數(shù)列 . 0 ,xE?若 數(shù)項級數(shù)1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( 1 1 )nu x u x u x? ? ? ?001( ) ( )nnkkS x u x?? ?n ??收斂 , 即部分和 當 時極限 0x 0x存在 , 則稱級數(shù) (9)在點 收斂 , 稱為級數(shù) (9)的收 斂點 . 若級數(shù) (11)發(fā)散 , 則稱級數(shù) (9)在點 0x 發(fā)散 . 若 級數(shù) (9)在 E 的某個子集 D 上每點都收斂 , 則稱級數(shù) (9)在 D 上收斂 . 若 D 為級數(shù) (9)全體收斂點的集合 , 這時就稱 D為級數(shù) (9)的收斂域 . 級數(shù) (9)在 D上每一 點 x 與其所對應(yīng)的數(shù)項級數(shù) (11)的和 ()Sx構(gòu)成一個 定義在 D 上的函數(shù) , 稱為級數(shù) (9)的和函數(shù) , 并記作 12( ) ( ) ( ) ( ) , ,nu x u x u x S x x D? ? ? ? ? ?即 l i m ( ) ( ) , .nn S x S x x D?? ??也就是說 , 函數(shù)項級數(shù) (9)的收斂性就是指它的部分 和函數(shù)列 (10)的收斂性 . 例 5 ( , )? ? ? ?定義在 上的函數(shù)項級數(shù)( 幾何級數(shù))21 , ( 1 2 )nx x x? ? ? ? ?1( ) . | | 11nnxS x xx????的部分和函數(shù)為 當 時,1( ) lim ( ) .1nnS x S x x???? ?1( 1 2 ) ( 1 , 1 ) ( ) 。 1 一致收斂性 一、函數(shù)列及其一致收斂性 設(shè) 12, , , , ( 1 )nf f f是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù) ,稱為定義在 E 上的函數(shù)列 . (1) 也可記為 ?{ } , 1 , 2 , .nnf f n或以 0xE? 代入 (1), 可得數(shù)列 1 0 2 0 0( ) , ( ) , , ( ) , . ( 2 )nf x f x f x0x 0x如果數(shù)列 (2)收斂 , 則稱函數(shù)列 (1)在點 收斂 , 稱 為函數(shù)列 (1)的收斂點 . 如果數(shù)列 (2)發(fā)散 , 則稱函數(shù) 列 (1)在點 0x 發(fā)散 . 當函數(shù)列 (1)在數(shù)集 上每一 DE?點都收斂時 , 就稱 (1)在數(shù)集 D 上收斂 . 這時 D 上每 x { ( )}nfx一點 都有數(shù)列 的一個極限值與之相對應(yīng) , 根據(jù)這個對應(yīng)法則所確定的 D 上的函數(shù) , 稱為函數(shù) 列 (1)的極限函數(shù) . 若將此極限函數(shù)記作 f, 則有 l i m ( ) ( ) ,nn f x f x x D?? ??或 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ? ?N? ? xD?函數(shù)列極限的 定義 : 對每一固定的 , 任 , 總存在正數(shù) N(注意 : 一般說來 N值與 ?給正數(shù) 和 ?, x)表示三者之間 的值都有關(guān) , 所以有時也用 N( x ?的依賴關(guān)系 ), 使當 nN? 時 , 總有 | ( ) ( ) | .nf x f x ???使函數(shù)列 {}nf 收斂的全體收斂點集合 , 稱為函數(shù)列 {}nf 的 收斂域 . 例 1 ( ) , 1 , 2 , ,nnf x x n? ? ? ?設(shè) 為定義在( )上的 函數(shù)列 , 證明它的收斂域是 ( 1, 1]? , 且有極限函數(shù) 0, | | 1 ,()1 , 1.xfxx???? ?? 證 0 ( 1 ) , 0 | | 1 ,x??任給 不妨設(shè) 當 時 由于? ? ? ?| ( ) ( ) | | | ,nnf x f x x????ln( , ) [ ] , ( , )l n | |N x n N xx???只 要 取 當 時 , 就 有| ( ) ( ) | | | | | .nNnf x f x x x ?? ? ? ?0 1 , ,x x n??當 和 時 則對任何正整數(shù) 都有| ( 0 ) ( 0 ) | 0nff ? ，? ? ?| ( 1 ) ( 1 ) | 0 .nff ?? ? ?式所表示的函數(shù) . | | 1 | | ( ) ,nx x n當 時, 有? ? ? ? ? ?1,x當時??又 1 , 1 , 1 , 1 ,??對 應(yīng) 的 數(shù) 列 為 顯然是發(fā)散的 . 所以 {}nx ( 1, 1]?函數(shù)列 在區(qū)間 外都是發(fā)散的 . 故所討論 的 函數(shù)列的收斂域是 ( 1, 1].?這就證明了 在 ( , 1] 上收斂 , 且極限就是 (3) {}nf 1?例 2 sin( , ) ( ) ,n nxfx n? ? ? ? ?定義在 上的函數(shù)列1 , 2 , .n ?s i n 1 ,nxnn?? ? ? 10 , [ ] ,nN? ?故 對 任 給 的 只 要 就 有s i n n ???,x由于對任何實數(shù) 都有所以函數(shù)列 ? ?s in ( , ) ,n x n ? ? ? ?的 收 斂 域 為 極 限( ) 0 .fx ?函 數(shù) 為注 : 對于函數(shù)列 , 僅停留在討論在哪些點上收斂是遠 遠不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具 有的解析性質(zhì)的關(guān)系 . 例如 , 能否由函數(shù)列每項的 連續(xù)性、可導(dǎo)性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo) 性 。 或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分 , 是否分別是函數(shù)列 每項導(dǎo)數(shù)或積分的極限 . 對這些更深刻問題的討論 , 必須對它在 D上的收斂性提出更高的要求才行 . { ( ) } [ , ] ( ) ,[ , ]nf x a b f xab 設(shè) 函 數(shù) 列 在 上 收 斂 于 因 為中 有 無 窮 多 個 點 ， 就 意 味 著一 般 來 說 ， 這 些 數(shù) 列 收 斂 的 快 慢 是 不 一致 的 ， 有 的 收 斂有 無 窮 多 個 數(shù)得 快 些 ， 有列 收 斂 .些 慢 些 .00000[ , ] , ( , ) ,( ) ( ) | .nNx a b N N x n Nf x f x????? ? ?? ? ? ??? 用 語 言 來 說 ， ， 對 于 任 給 的存 在 正 數(shù) 當 時 ，總 有 |0000 0( , )()..,NNxxNxx?????? 這 里 的對 于不 僅 與 有 關(guān) ， 也同 一 個 ， 不 同 的 所 要 求 的值 可 以 相與關(guān)差 很 大有( ) , 1 , 2 , .. . ( 0 , 1 ) ,( ) 0. 0 1 ,| ( ) ( ) | ,ln( , ) [ ] .lnnnnnf x x n xfxf x f x xn N xx??????? ? ?? ? ???例 1 中 對 于 中 每 個 點函 數(shù) 列 都 收 斂 于 對 于 要 使必 須100111022433( , )1| ( ) ( ) | ,1( , ) 10 。1Sx x?? ?所 以 幾 何 級 數(shù) 在 收 斂 于| | 1 , .x ?當 時 幾 何 級 數(shù) 是 發(fā) 散 的 有限個 連續(xù)函數(shù)的和仍是連續(xù)函數(shù)， 有限個 函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)及積分也分別等于他們的導(dǎo)數(shù)及積分的和．對于 無限個 函數(shù)的和是否具有這些性質(zhì)呢？對于冪函數(shù)是這樣的，那么對于一般的函數(shù)項級數(shù)是否如此？ 問題 解 ,)( nn xxs ?且 得和函數(shù) 因為該級數(shù)每一項都在 [0,1]是連續(xù)的， ?????????? .1,1,10,0)(lim)(xxxsxsnn.1)( 處間斷在和函數(shù) ?xxs例 6 考察函數(shù)項級數(shù) ?? ???????? ? )()()( 1232 nn xxxxxxx和函數(shù)的連續(xù)性． 函數(shù)項級數(shù)的每一項在 ],[ ba 上連續(xù)，并且級數(shù)在 ],[ ba 上收斂，其和函數(shù) 不一定 在 ],[ ba 上 連續(xù) ．同樣函數(shù)項級數(shù)的每一項的導(dǎo)數(shù)及積分所成的級數(shù)的和也 不一定 等于他們和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分． 結(jié)論 對什么級數(shù)，能從每一項的連續(xù)性得出和函數(shù)的連續(xù)性，從每一項的導(dǎo)數(shù)及積分所成的級數(shù)之和得出原來級數(shù)的和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分呢？ 問題 定義 2 { ( ) } ( )nnS x u x?設(shè) 是函數(shù)項級數(shù) 的部分和. { ( ) } ( ) ,nS x D S x函數(shù)列 若 在數(shù)集 上一致收斂于 則稱 ( ) ( ) ,nu x D S x函數(shù)項級數(shù) 在 上一致收斂于函數(shù) ?( ) .nu x D?或稱 在 上一致收斂 設(shè)有函數(shù)項級數(shù) ??? 1)(nnxu ．如果對于任意給定的正數(shù)?，都存在著一個 只依賴于?的自然數(shù) N ，使得當 Nn ? 時，對區(qū)間 I 上的一切x，都有不等式 ( ) ( )ns x s x ??? 成立，則 稱 函數(shù)項級數(shù)