第六節(jié)傅里葉級數(shù)-展示頁
2025-07-29 20:17本頁面
【正文】 (*)所給出的傅里葉級數(shù)收斂于 f(x). ππ ??? xππ ??? x在 處， (*)所給出的傅里葉級數(shù)收斂于 π,π ??? xx.2 π2 0π2 )π()π( ????????? ff例 2 將 ??????????π0 ,1,0π ,1)(xxxf展開為傅里葉級數(shù) . 解 由歐拉 ——傅里葉公式有 ),)(( 0d)(π1 π π0 為奇函數(shù)因?yàn)?xfxxfa ?? ??),)(( ),2,1( 0dc o s)(π1 ππ為奇函數(shù)因?yàn)?xfnxnxxfa n ???? ??).,2,1( ])1(1[π2 ds i nπ2ds i n)(π1 π0ππ??????? ???nnxnxxnxxfbnn因此 f(x)的傅里葉級數(shù)為 ?????? ??????? ?? xkkxx )12s i n ()12(13s i n3s i nπ4由于 f(x)在 內(nèi)連續(xù)，因此依傅里葉 級數(shù)的收斂定理可知，在 內(nèi)有 π0,0π ????? xxπ0,0π ????? xx.)12s i n ()12( 13s i n3s i nπ4)( ?????? ???????? ?? xkkxxxf由于 x=0為 f(x)的間斷點(diǎn)，因此上述傅里葉級數(shù)在 x=0處 收斂于 .當(dāng) 時(shí)，上 述傅里葉級數(shù)收斂于 02 112 )0()0( ??????? ffπ,π ??? xx.02 112 )π()π( ???????? ff三、在 上的傅里葉級數(shù) ]π,0[ 如果 f(x)為定義在 上的函數(shù)，可以仿 (二 )的 處理方法，先將 f(x)進(jìn)行延拓，即構(gòu)造 F(x)在 上與 f(x)相等，而在 內(nèi)可以隨意定義 .如果構(gòu)造 F(x)使 其為 上的奇函數(shù)，則稱此延拓為 奇延拓 .由此可以 推得歐拉 –——傅里葉級數(shù)的系數(shù) π0 ?? x]π,0[)0,π[?]π,π[?),c o s)()(( ),2,1,0( 0為奇函數(shù)和因?yàn)?nxxFxFna n ???),2,1( ds i n)(π2 π0 ??? ? nxnxxfb n(因?yàn)?F(x)sin nx為偶函數(shù) ). 此時(shí)相應(yīng)的傅里葉級數(shù)為 .此級數(shù)也 滿足前述收斂定理 .通常稱上述工作為將 f(x)在 上 展開成 正弦級數(shù) . ???1s innn nxb]π,0[ 如果將 F(x)構(gòu)造為 上的偶函數(shù)，使其在 上等于 f(x)，則可稱之將 f(x)在 上偶延拓，由此 可推得 π],π[? π],0[0],π[?).
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