數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性模型-資料下載頁(yè)
2025-08-11 12:12本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性。理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)。制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。場(chǎng)魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律。單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比。不需要求解x,只需知道x穩(wěn)定的條件。一階非線性（自治）方程。設(shè)x是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，稱x0是方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)。開放式捕撈只求利潤(rùn)R>0. 描述雙方軍備競(jìng)賽過程。解釋(預(yù)測(cè))雙方軍備競(jìng)賽的結(jié)局。假設(shè)1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；~本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；k,l~對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競(jìng)賽的潛力。1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部。才會(huì)穩(wěn)定，否則軍備將無(wú)限擴(kuò)張。
【正文】 )([)1()(福 州 大 學(xué) 64 3）達(dá)到目標(biāo)體重 75千克后維持不變的方案 )()()1()()1( kwtkckwkw ???? ??????每周吸收熱量 c(k)保持某常數(shù) C，使體重 w不變 wtCww )( ???? ???????? wtC )( ??)( 千卡????C? 不運(yùn)動(dòng) )( 千卡????C? 運(yùn)動(dòng) (內(nèi)容同前 ) 福 州 大 學(xué) 65 )1()( Nxrxtx ????,2,1),1(1 ????? kNyryyy kkkk 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型 連續(xù)形式 的阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型 ) t??, x?N, x=N是 穩(wěn)定平衡點(diǎn) (與 r大小無(wú)關(guān) ) 離散形式 x(t) ~某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量 (人口 ) yk ~某種群第 k代的數(shù)量 (人口 ) 若 yk=N, 則 yk+1,yk+2,…= N 討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即 k??, yk?N ？ y*=N 是平衡點(diǎn) 福 州 大 學(xué) 66 kk yNrrx)1( ??1?? rb記)1()1(1 Nyryyy kkkk ????離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ??????????? kkk yNrryry)1(1)1(1)2()1(1 kkk xbxx ???一階 (非線性 )差分方程 (1)的平衡點(diǎn) y*=N 討論 x* 的穩(wěn)定性 變量代換 (2)的平衡點(diǎn) brrx 111* ????福 州 大 學(xué) 67 (1)的平衡點(diǎn) x*—— 代數(shù)方程 x=f(x)的根 穩(wěn)定性判斷 )2())(()( ***1 xxxfxfx kk ?????(1)的近似線性方程 x*也是 (2)的平衡點(diǎn) 1)( * ?? xfx*是 (2)和 (1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn) 1)( * ?? xfx*是 (2)和 (1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn) 補(bǔ)充知識(shí) 一階非線性差分方程 )1()(1 kk xfx ?? 的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 福 州 大 學(xué) 68 )21()( ** xbxf ???1)( * ?? xf0 yxxy ?)( xfy ?4/b*x 2/1 1 )1()( xbxxfx ???)1(1 kkk xbxx ??? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) bx11* ??穩(wěn)定性 31 ?? b2/1/11* ??? bx*xx k ?（單調(diào)增）0x1x1x 2xx* 穩(wěn)定 21)1( ?? b)1)((3 * ??? xfb x* 不 穩(wěn)定 另一平衡點(diǎn)為 x=0 1?? rb1)0( ??? bf不穩(wěn)定 b?? 2福 州 大 學(xué) 69 3)3( ?b0 1/2 1 y4/bxy?)(xfy ?0x 1x *x 2x x32)2( ?? b2/1/11* ??? bx*xxk ?（振蕩地）y0 xxy?)(xfy ?0x 1x 2x*x2/1 1 4/b*xxk ?（不）)1(1 kkk xbxx ??? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 福 州 大 學(xué) 70 )1(1 kkk xbxx ???初值 x0= 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 bx11* ??b 3, x? b=, x?兩個(gè)極限點(diǎn) b=, x?4個(gè)極限點(diǎn) b=, x?8個(gè)極限點(diǎn) 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 ? ? 3 2 1 0 b= k ? b= ? b= ? b= ? b= 福 州 大 學(xué) 71 ))(( xffx ?)(),( *1*2*2*1 xfxxfx ??bbbbx2321 2*2,1???? ?( * ))())(()( )2(12 kkkk xfxffxfx ??? ??)(1 kk xfx ??倍周期收斂 —— x*不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論 *xx k ?（不） *212*12 , xxxx kk ?? ?子序列單周期不收斂 2倍周期收斂 (*)的平衡點(diǎn) bx11* ??10 *2**1 ???? xxxx*不穩(wěn)定，研究 x1*, x2*的穩(wěn)定性 )1()( xbxxf ?? )]1(1)[1( xbxxbxb ??????b福 州 大 學(xué) 72 )()())(())(( *2*1)2()2( *2*1xfxfxfxf xxxx ?????? ??)21)(21())(( *2*12,)2( *2*1xxbxf xxx ???? ?1))(( * 2,1)2( ??xf倍周期收斂 *212*12 , xxxx kk ?? ? ??? ?b)21()( xbxf ???bbbbx2321 2*2,1???? ? 的穩(wěn)定性 2)2( )]([])([ xfxf ???x1* x2* x* b= y=f(2)(x) y=x x0 福 州 大 學(xué) 73 倍周期收斂 的進(jìn)一步討論 1))39。(( * 2,1)2( ??? xfb出現(xiàn) 4個(gè)收斂子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 )()4(4 kk xfx ??平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性需研究 ?? b 時(shí)有 4個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn) 2n倍周期收斂 , n=1,2,… bn~ 2n倍周期收斂的上界 b0=3, b1=, b2=, … n??, bn? x1*, x2* (及 x*)不穩(wěn)定 b, 不存在任何收斂子序列 混沌現(xiàn)象 4倍周期收斂 福 州 大 學(xué) 74 )1(1 kkk xbxx ??? 的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象 b 福 州 大 學(xué) 75 按年齡分組的種群增長(zhǎng) ? 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 ? 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律 假設(shè)與建模 ? 種群按年齡大小等分為 n個(gè)年齡組，記 i=1,2,… , n ? 時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記 k=1,2,… ? 以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象 ? 第 i 年齡組 1雌性個(gè)體在 1時(shí)段內(nèi)的 繁殖率 為 bi ? 第 i 年齡組在 1時(shí)段內(nèi)的死亡率為 di, 存活率 為 si=1 di 福 州 大 學(xué) 76 1,2,1),()1(1 ????? nikxskx iii ?假設(shè) 與 建模 xi(k)~時(shí)段 k第 i 年齡組的種群數(shù)量 )()1( kLxkx ??)0()( xLkx k?Tn kxkxkxkx )](),(),([)( 21 ??~按年齡組的分布向量 預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年齡組的分布 ???????????????????????000000121121nnnsssbbbbL????~Leslie矩陣 (L矩陣 ) )()1(11 kxbkx inii????(設(shè)至少 1個(gè) bi0) 福 州 大 學(xué) 77 穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí) nkk ?,3,2,1 ?? ??? L矩陣存在 正單特征根 ?1， ? 若 L矩陣存在 bi, bi+10, 則 nkk ,3,2,1 ??? ??)0()( xLkx k? 11 )],([ ?? Pd i a gPL n?? ?P的第 1列是 x* )0()0,0,1()(l i m 11xPP di agkx kk???? ??Tnnssssssx?????????11121212111* ,1?????特征向量 *1)(l i m cxkxkk ??? ?, c是由 bi, si, x(0)決定的常數(shù) 且 解釋 L對(duì)角化 11 )],([ ?? Pd i a gPL knkk ?? ?*cx?福 州 大 學(xué) 78 *)()1 xckx k??)()1()2 kxkx ???穩(wěn)態(tài)分析 —— k充分大種群按年齡組的分布 *1 )(l i m cxkx kk ??? ?~ 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布 , 與初始分布無(wú)關(guān)。 ~ 各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， ?稱固有增長(zhǎng)率 ? ? Tnssssssx 121211* ,1 ?? ??)()1( kxkx ii ???)()1( kLxkx ??與基本模型 比較 3） ?=1時(shí) *)()1( cxkxkx ??? ~ 各年齡組 種群數(shù)量不變 福 州 大 學(xué) 79 ~ 1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為 1 1121121 ???? ?nn sssbsbb ??穩(wěn)態(tài)分析 Tnssssx ],1[ 1211*?? ?,)()4*ckx k??~存活率 si是同一時(shí)段的 xi+1與 xi之比 （與 si 的定義 比較） )()1(1 kxskx iii ???1,2,1),()(1 ???? nikxskx iii ?3） ?=1時(shí) ** xLx ? ? ?Tnssssssx 121211* ,1 ?? ?????????????????????????000000121121nnnsssbbbbL???
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