【正文】 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場干枯 E~捕撈強度 r~固有增長率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx福 州 大 學(xué) 7 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標(biāo) x0~平衡點 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標(biāo) h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點 P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場魚量為最大魚量的一半 福 州 大 學(xué) 8 cErEpNEESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設(shè) ? 魚銷售價格 p ? 單位捕撈強度費用 c 單位時間利潤 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場魚量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 福 州 大 學(xué) 9 Es S(E) T(E) 0 r E 捕撈過度 ? 封閉式捕撈 追求利潤 R(E)最大 ? 開放式捕撈 只求利潤 R(E) 0 cErEpNEESETER ????? )1()()()(R(E)=0時的捕撈強度 (臨界強度 ) Es=2ER )1( rENx ss ?? pc?臨界強度下的漁場魚量 ?? cp ,捕撈過度 ER )1(2 pNcrE R ??E* 令=0 )1(pNcrEs ???? ss xE ,福 州 大 學(xué) 10 軍備競賽 ? 描述雙方 (國家或國家集團(tuán) )軍備競賽過程 ? 解釋 (預(yù)測 )雙方軍備競賽的結(jié)局 假設(shè) 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟(jì)實力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大； 3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。 t ? ?時的 x(t)， y(t) 福 州 大 學(xué) 12 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點及其穩(wěn)定性 平衡點 P0(x0,y0)=(0,0) ~代數(shù)方程 00????dycxbyax 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m0xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點 ,)(l i m0ytyt ???記系數(shù)矩陣 ???????dcbaA 特征方程 0)d e t ( ?? IA ?????????????Aqdapqpd e t)(02 ?? 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????福 州 大 學(xué) 13 線性常系數(shù)微分方程組 dycxtybyaxtx????)()(?? 的平衡點及其穩(wěn)定性 特征根 2/)4( 22,1 qpp ?????平衡點 P0(0,0) 微分方程一般解形式 tt ecec 2121?? ?平衡點 P0(0,0)穩(wěn)定 平衡點 P0(0,0)不穩(wěn)定 ?1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 福 州 大 學(xué) 14 klAqp????????????????de t0)(klhglyklgkhx????????????00 ,平衡點 穩(wěn)定性判斷 ???????????lkA系數(shù)矩陣 平衡點 (x0, y0)穩(wěn)定的條件 0,0 ?? qpkl?????????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 軍備競賽 福 州 大 學(xué) 15 模型的定性解釋 kl???雙方軍備穩(wěn)定 (時間充分長后趨向有限值 )的條件 1) 雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時，軍備競賽 才會穩(wěn)定，否則軍備將無限擴(kuò)張。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 ?, ? ~ 本方經(jīng)濟(jì)實力的制約； k, l ~ 對方 軍備數(shù)量的刺激； g, h ~ 本方 軍備競賽的潛力。 0,0 ?? yx ??4）即使某時一方 (由于戰(zhàn)敗或協(xié)議 )軍備大減 , 如 x(t)=0， 也會因 使該方重整軍備， gkyx ??? 即存在互不信任 ( ) 或固有爭端 ( ) 的單方面裁軍不會持久。 ??????????hylxtygkyxtx??)()(??模型 福 州 大 學(xué) 17 種群的相互競爭 ? 一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。 ? 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。 )1()(22222 Nxxrtx ???? 兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比 。 對于消耗甲的資源而言，乙 (相對于 N2)是甲(相對于 N1) 的 ?1 倍。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙小于甲?乙的競爭力弱 ? P1穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競爭力強 甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 ? P2穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ? P3穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩(wěn)定條件不滿足 福 州 大 學(xué) 27 種群的相互依存 甲乙兩 種群的相互依存有三種形式 1) 甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。 3) 甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。 甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。 模型 乙為甲提供食物是甲消耗的 ?1 倍 221 Nx??甲為乙提供食物是乙消耗的 ?2 倍 ? ?1)( 222 ?? xrtx? ???????????112222 1)( Nxxrtx ?? ???????? ????22112222 1)( NxNxxrt ??福 州 大 學(xué) 29 種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡點 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 1,1 212 ?? ???1,1,12121???????平衡點 p q)0,( 11 NP )1( 221 ?? ?rr )1( 221 ?? ?rr)0,0(3P21 rr ?? 21rr?????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP2121211)1)(1(???????rr2122111)1()1(??????? rr福 州 大 學(xué) 30 平衡點 P2穩(wěn)定性的相軌線 ????????????212221112 1)1(,1)1(?????? NNP),(1)( 2111221111111 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ???? ),(1)(212222112222 xxxrNxNxxrtx ?? ????????? ?????.0,0:。0,0:。 ? 模型的歷史背景 —— 一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降 (食用魚和鯊魚同時捕撈 )，但是其中 鯊魚的比例卻增加，為什么？ 福 州 大 學(xué) 33 食餌（甲）數(shù)量 x(t), 捕食者（乙）數(shù)量 y(t) 甲獨立生存的增長率 r rxx ??乙使甲的增長率減小，減小量與 y成正比 xayrtx )()( ???乙獨立生存的死亡率 d dyy ???甲使乙的死亡率減小，減小量與 x成正比 ybxdty )()( ????方程 (1),(2) 無解析解 食餌 捕食者模型 (Volterra) a ~捕食者掠取食餌能力 b ~食餌供養(yǎng)捕食者能力 )1(a x yrx ??)2(b x ydy ???福 州 大 學(xué) 34 Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性 a x yrxxayrtx ???? )()(?b x ydyybxdty ?????? )()(?平衡點 ),/,/( arbdP穩(wěn)定性分析 ???????????bxdbyaxaxrA?????????drA P00P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析 p =0, q 0 P: 臨界狀態(tài) q 0 P180。 食餌 捕食者模型 (Volterra) 福 州 大 學(xué) 37 )()(bxdyayrxdydx????dyyayrdxxbxd ???? 消去 dt 1lnln cayyrbxxd ?????ybxdtyxayrtx)()()()(???????ceyex ayrbxd ??? ))((用相軌線分析 點穩(wěn)定性