數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性-資料下載頁
2025-06-07 20:21本頁面
【正文】 等函數(shù)的連續(xù) 定理１ 任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。定理２ 一切基本初等函數(shù)都是其定義域上連續(xù)函數(shù)。３．利用初等函數(shù)的連續(xù)性可計(jì)算極限例３．設(shè)，證明：。例４．求。例５ 求。三 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)l 引 言閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)?，F(xiàn)將將基本的列舉如下。從幾何上看，這些性質(zhì)都是十分明顯的。但要嚴(yán)格證明它們，還需其它知識(shí)，將在第七章167。２給出。先給出下面的關(guān)于“最大大值”的定義：定義１ 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)一切都有（），則稱在Ｄ上有最大（?。┲担⒎Q為在Ｄ上的最大（?。┲怠＠?。、。一般而言， 在其定義域上不一定有最大（?。┲?，即使在Ｄ上有界。例如：無最大（?。┲担辉冢郏?，１］上也無最大（小）值。１．性質(zhì)性質(zhì)１（最大、最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值與最小值。性質(zhì)２（有界性定理）若在上連續(xù)，則在上有界。思考?、倏紤]函數(shù)，上述結(jié)論成立否？說明理由；②要存在最大（小）值或有界是否一定要連續(xù)？是否一定要閉區(qū)間呢？結(jié)論 上述性質(zhì)成立的條件是充分的，而非必要的。性質(zhì)３（介值定理）設(shè)在上連續(xù)，且。若是介于和之間的任何實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使得。注 表明若在上連續(xù)，又的話，則在上可以取得和之間的一切值。（如左圖）。性質(zhì)４（根存在定理） 若在上連續(xù)，且和異號(hào)（），則至少存在一點(diǎn)，使得。幾何意義 若點(diǎn)和分別在軸兩側(cè)，則連接Ａ、Ｂ的曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。２．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用舉例 關(guān)健 構(gòu)造適當(dāng)?shù)模粯?gòu)造適當(dāng)?shù)拈]區(qū)間。例６．證明：若，為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù)，使得。例７．設(shè)在上連續(xù)，滿足。證明：存在，使得。四 一致連續(xù)性l 引言在連續(xù)函數(shù)的討論和應(yīng)用中，有一個(gè)極為重要的概念，叫做一致連續(xù)。我們先敘述何謂一致連續(xù)。設(shè)在某一區(qū)間Ｉ連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間Ｉ內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。即對(duì)時(shí)，就有。一般說來，對(duì)同一個(gè)，當(dāng)不同時(shí)，一般是不同的。例如圖左。中的曲線，對(duì)接近于原點(diǎn)的，就應(yīng)取小一些。而當(dāng)離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，取大一些。（對(duì)后者的值就不一定可用于前者。但在以后的討論中，有時(shí)要求能取到一個(gè)時(shí)區(qū)間Ｉ內(nèi)所有的點(diǎn)都適用的，這就需要引進(jìn)一個(gè)新概念——一致連續(xù)。１．一致連續(xù)的定義 定義（一致連續(xù)） 設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對(duì)任給的，存在一個(gè)，使得對(duì)任何，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間Ｉ上一致連續(xù)。２． 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)的比較（１） 區(qū)別：定 義函數(shù)在Ｉ連續(xù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在Ｉ上一致連續(xù)，當(dāng)，時(shí)，對(duì)的要求對(duì)于Ｉ上的不同的點(diǎn)，相應(yīng)的是不同的，換言之，的取值除依賴于外，還與有關(guān)，由此記為表示與和有關(guān)。的取值只與有關(guān)，而與無關(guān)，或者說，存在適合于Ｉ上所有點(diǎn)的公共的，記作，它對(duì)任意的都適用。性 質(zhì)與區(qū)間中每一點(diǎn)及其附近的情形有關(guān)，即只要在區(qū)間中每一點(diǎn)，連續(xù)就行。也即在每一點(diǎn)中可有適合定義中的，這是局部性質(zhì)。要知在整個(gè)區(qū)間的情形，在整個(gè)區(qū)間內(nèi)來找適合定義中的，這種性質(zhì)稱為整體性質(zhì)。（２） 關(guān)系若在Ｉ上一致連續(xù)，則在Ｉ上連續(xù)；反之不成立（即若在Ｉ上連續(xù)，不一定在Ｉ上一致連續(xù)。３． 問題：如何判斷一個(gè)函數(shù)是否一致連續(xù)呢？有下面的定理：定理（康托Cantor定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。４．一致連續(xù)的例子例１． 證明 在上一致連續(xù)。例２． （１）證明函數(shù)在內(nèi)不一致連續(xù)。（２），證明 在內(nèi)是一致連續(xù)的。例３． 證明 在內(nèi)是一致連續(xù)的，而在內(nèi)連續(xù)但非一致連續(xù)。例４． 設(shè)區(qū)間的右端點(diǎn)為，區(qū)間的左端點(diǎn)也為（可分別為有限或無限區(qū)間）。試按一致連續(xù)性定義證明：若分別在和上的一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù)。167。３ 初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：知道所有初等函數(shù)都是在其有定義的區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，并能夠加以證明。教學(xué)要求：深刻理解初等函數(shù)在其定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，并能應(yīng)用連續(xù)性概念以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加以證明，能熟練運(yùn)用這一結(jié)論求初等函數(shù)的極限。教學(xué)重點(diǎn)：初等函數(shù)的連續(xù)性的闡明。教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)連續(xù)性命題的證明。教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)。 20
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