文科一輪學案97拋物線-預覽頁
【正文】 知拋物線y2＝2px (p0)有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程．10．拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．(1)若＝2，求直線AB的斜率；(2)設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值． 拋物線自主預習案 自主復習 夯實基礎【雙基梳理】1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點FFFF離心率e＝1準線方程x＝－x＝y(tǒng)＝－y＝范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下【知識拓展】1．拋物線y2＝2px (p0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑．2．y2＝ax的焦點坐標為，準線方程為x＝－.【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．( )(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是(，0)，準線方程是x＝－.( )(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．( )(4)AB為拋物線y2＝2px(p0)的過焦點F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a0)的通徑長為2a.( √ )考點探究案 典例剖析 考點突破考點一 拋物線的定義及應用例1 已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時點P的坐標解 將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝177。＝2，∴p＝＝16y.命題點2 拋物線的幾何性質(zhì)例3 過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為________．答案 解析 由題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如圖所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2.設AB的方程為x－1＝ty，由消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4.∴y2＝－，x2＝，∴S△AOB＝1|y1－y2|＝. 變式訓練：(1)(2015＝(x1＋2，y1－2).所以，△ABP面積的最大值為.變式訓練： (2015＝，∴－p2＝－3?p2＝4.∵p0，∴p＝2.(2)由拋物線定義，得|AM|＝x1＋＝x1＋1，|BM|＝x2＋＝x2＋1，∴|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9，當且僅當x1＝4x2時取等號．將x1＝4x2代入x1x2＝＝1，得x2＝(負值舍去)．將x2＝代入y2＝4x，得y2＝177。y－4＝0. 當堂達標：1．(2015課標全國Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30176。①得k6＝64，即k2＝4.則p2＝＝.又p0，則p＝，故所求拋物線方程為y2＝x.10．拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．(1)若＝2，求直線AB的斜率；(2)設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．解 (1)依題意知F(1,0)，設直線AB的方程為x＝my＋1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y2－4my－4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因為＝2，所以y1＝－2y2.②聯(lián)立①和②，消去y1，y2，得m＝177。|y1－y2|＝＝4，所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4. 19
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